Question

7．如图所示，在长为L的轻杆中点A和端点B各固定一质量为m的球，杆可绕无摩擦的轴O转动，使杆从水平位置无初速度释放摆下．求，
（1）当杆转到竖直位置时，球A、B的速度各多大？
（2）当杆转到竖直位置中，轻杆OA和轻杆AB对A、B两球分别做了多少功？
（3）当杆转到竖直位置时，OA杆和AB杆对A球的作用力各多大？

Answer 1

分析 （1）A、B两球组成的系统，在运动的过程中只有重力做功，系统机械能守恒，抓住A、B的角速度相等，根据A、B的速度关系，利用系统机械能守恒定律求出A、B两球的速度；
（2）根据动能定理分别求出轻杆对A、B两球分别做的功．
（3）根据向心力公式列式即可求得两杆的拉力．

解答 解：（1）设当杆转到竖直位置时，A球和B球的速度分别为v_A和v_B．如果把轻杆、两球组成的系统作为研究对象，系统机械能守恒．若取B的最低点为重力势能参考平面，根据△E_减=△E_增
可得：mgL+$\frac{1}{2}$mgL=$\frac{1}{2}$mv_A²+$\frac{1}{2}$mv_B²                   
又因A球与B球在各个时刻对应的角速度相同，故v_B=2v_A
由以上二式得：v_A=$\sqrt{\frac{3gL}{5}}$，v_B=$\sqrt{\frac{12gL}{5}}$．
（2）根据动能定理，可解出杆对A、B做的功．
对A有：W_A+mg$\frac{L}{2}$=$\frac{1}{2}$mv_A²，
所以W_A=-0.2mgL．
对B有：W_B+mgL=$\frac{1}{2}$mv_B²-0，
所以得：W_B=0.2mgL．
（3）B球：根据牛顿第二定律有：F₁-mg=$\frac{m{v}_{B}^{2}}{L}$
解得：F₁=$\frac{17}{5}$mg
对A球：F₂-F₁-mg=m$\frac{{v}_{A}^{2}}{\frac{L}{2}}$
解得：F₂=$\frac{28}{5}$mg
答：（1）A、B两球的速度分别为$\sqrt{\frac{3gL}{5}}$和$\sqrt{\frac{12gL}{5}}$；
（2）该过程中轻杆对A、B两球分别做了功为-0.2mgL，0.2mgL．
（3）A段轻杆对A球及AB段轻杆对B球的拉力各是$\frac{17}{5}$mg和$\frac{28}{5}$mg

点评 解决本题的关键知道A、B两球在运动的过程中，系统机械能守恒，因为杆子做功为变力做功，只能求出A、B的速度，根据动能定理求出杆子的做功