如图1所示.A.B为水平放置的平行金属板.板间距离为d．在两板的中心各有小孔O和O’.O和O’处在同一竖直线上．在两板之间有一带负电的质点P．已知A.B间所加电压为U0时.质点P所受的电场力恰好与重力平衡．现在A.B 间加上如图2所示随时间t作周期性变化的电压U.已知周期T=12dg．在第一个周期内的某一时刻t0.在A.B 间的中点处由静止释放质点P.一段时间后质� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

（2009?汕头二模）如图1所示，A、B为水平放置的平行金属板，板间距离为d（d远小于板的长和宽）．在两板的中心各有小孔O和O’，O和O’处在同一竖直线上．在两板之间有一带负电的质点P．已知A、B间所加电压为U₀时，质点P所受的电场力恰好与重力平衡．现在A、B 间加上如图2所示随时间t作周期性变化的电压U，已知周期T=

12d

（g为重力加速度）．在第一个周期内的某一时刻t₀，在A、B 间的中点处由静止释放质点P，一段时间后质点P从金属板的小孔飞出．
（1）t₀在什么范围内，可使质点在飞出小孔之前运动的时间达到最短？
（2）t₀在哪一时刻，可使质点P从小孔飞出时的速度达到最大？

分析：分析质点的运动情况：在第一个周期内，若质点在前半周内释放，可能先向上做匀加速直线运动，后向上做匀减速直线运动；后半周内释放，可能先向下做匀加速直线运动，后向下做匀减速直线运动．要使质点飞出小孔之前时间最短，必须一直加速，而且加速度较大．向上或向下的加速度大小由牛顿第第二定律求出，向下的加速度大，故质点须在后半周内某个时刻释放，且运动时间小于

T，质点在飞出小孔之前运动的时间即最短；要使质点P从小孔飞出时的速度达到最大，须使质点释放后先向上加速、再向上减速运动，在到达小孔O时速度减为0，然后向下加速运动直到小孔O’

解答：解：设质点P的质量为m，电量大小为q，根据题意，当A、B间的电压为U₀时，有
q

=mg
当两板间的电压为2U₀时，P的加速度向上，其大小为a₁，则
q

-mg=ma₁         解得 a₁=g
   当两板间的电压为-2U₀时，P的加速度向下，其大小为a₂，则
   q

+mg=ma₂ 解得 a₂=3g
（1）要使质点在飞出小孔之前运动的时间达到最短，须使质点释放后一直向下加速运动．设质点释放后经过时间t到达小孔O′，则

a2t2 解得 t=

因为周期T=

12d

，所以t＜

质点到达小孔之前能一直加速．因此要使质点在飞出小孔之前运动的时间达到最短，质点释放的时刻t₀应
满足

≤t0≤T-t，即

≤t₀≤5