题目内容

20．如图所示，太阳和地球组成“日地双星系统”，两者绕共同的圆心C（图中未画出）做周期相同的圆周运动．数学家拉格朗日发现，处在拉格朗日点（如图所示）的航天器在太阳和地球引力的共同作用下可以绕“日地双星系统”的圆心C做周期相同的圆周运动，从而使日、地、航天器三者在太空的相对位置保持不变．不考虑航天器对日地双星系统的影响，不考虑其它天体对该系统的影响．已知：太阳质量为M地球质量为m太阳与地球球心距离为d则下列说法正确的是（　　）
A．位于拉格朗日点绕C稳定运行的航天器，其向心加速度小于地球的向心加速度
B．日地双星系统的周期为T=2π$\sqrt{\frac{{d}^{3}}{GMm}}$
C．圆心C太阳和地球的连线上，距离太阳和地球球心的距离之比等于太阳和地球的质量之比
D．拉格朗日点距地球球心的距离x满足关系式G$\frac{M}{{（d+x）}^{2}}$+G$\frac{m}{{x}^{2}}$=G$\frac{M+m}{{d}^{3}}$（X+$\frac{dM}{M+m}$）

分析 位于拉格朗日点的绕C点稳定运行的航天器的周期与地球的周期相同，根据$a=（\frac{2π}{T}）^{2}r$可知，离C点越远加速度越大．
根据万有引力提供向心力，对地球：$G\frac{Mm}{{d}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}{r}_{1}$，对太阳：$G\frac{Mm}{{d}^{2}}=M\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}{r}_{2}$，由此二式可以解得周期T和地球距离C点的距离．
航天器在太阳和地球引力的共同作用下可以绕“日地双星系统”的圆心C点做周期相同的圆周运动，设航天器的质量为m0，根据合力提供向心力得$G\frac{M{m}_{0}}{（d+x）^{2}}+G\frac{m{m}_{0}}{{x}^{2}}={m}_{0}\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}（x+\frac{dM}{M+m}）$，代入周期化简即可．

解答 解：A、位于拉格朗日点的绕C点稳定运行的航天器的周期与地球的周期相同，根据$a=（\frac{2π}{T}）^{2}r$可知，离C点越远加速度越大，故A错误．
B、太阳和地球组成“日地双星系统”，两者绕共同的圆心C点（图中未画出）做周期相同的圆周运动．
根据万有引力提供向心力，对地球：$G\frac{Mm}{{d}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}{r}_{1}$
对太阳：$G\frac{Mm}{{d}^{2}}=M\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}{r}_{2}$
两式相加$G\frac{M+m}{{d}^{2}}=\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}（{r}_{1}+{r}_{2}）$
因为d=r1+r2
所以$T=2π\sqrt{\frac{{d}^{3}}{G（M+m）}}$
故B错误．
C、由$G\frac{Mm}{{d}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}{r}_{1}$和$G\frac{Mm}{{d}^{2}}=M\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}{r}_{2}$可得$\frac{{r}_{2}}{{r}_{1}}=\frac{m}{M}$，即圆心C点在太阳和地球的连线上，距离太阳和地球球心的距离之比等于太阳和地球的质量的反比，故C错误．
D、根据$\frac{{r}_{2}}{{r}_{1}}=\frac{m}{M}$和d=r1+r2可得，地球距离圆心C点距离为${r}_{1}=\frac{dM}{M+m}$
航天器在太阳和地球引力的共同作用下可以绕“日地双星系统”的圆心C点做周期相同的圆周运动，设航天器的质量为m0
则$G\frac{M{m}_{0}}{（d+x）^{2}}+G\frac{m{m}_{0}}{{x}^{2}}={m}_{0}\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}（x+\frac{dM}{M+m}）$
即$G\frac{M}{{（d+x）}^{2}}+G\frac{m}{{x}^{2}}=G\frac{M+m}{{d}^{3}}（x+\frac{dM}{M+m}）$
故D正确．
故选：D

点评 本题考查万有引力的应用，题目较为新颖，在解题时要注意分析向心力的来源及题目中隐含的条件．

练习册系列答案
相关题目
12．如图所示，一个沙袋用无弹性的细绳悬于O点，开始时沙袋处于静止．弹丸以水平速度击中沙袋后均未穿出．第一次弹丸的速度为v1，打入沙袋后二者共同摆动的最大摆角为30°．当沙袋第一次返回图示位置时，第二颗弹丸恰好以水平速度v2击中沙袋，使沙袋向右摆动，且最大摆角仍为30°．若弹丸质量是沙袋质量的$\frac{1}{40}$倍，则以下结论中正确的是（　　）
A．v2：v1=1：1B．v1：v2=41：42C．v1：v2=42：41D．v1：v2=41：83
12．相互叠加的三个木块静止在水平地面上，其中木块B所受水平拉力F1=2N，木块C所受水平拉力F2=3N，则A受到B的摩擦力0N；C受到B的摩擦力2N，方向水平向右；C受到地面的摩擦力1N，方向水平向右．
9．用滴水法可以测定重力加速度的值．方法是：在自来水龙头下面固定一挡板，如图1所示，仔细调节水龙头，使得前一水滴滴在挡板上的同时，下一水滴刚好开始下落．首先量出水龙头口离挡板的高度h，再用秒表计时，计时的方法是：当听到某一水滴滴在挡板上的声音的同时，开启秒表开始计时，并数“1”，以后每听到一声水滴声，依次数“2、3、4…”，一直数到“n”时，按下秒表按钮停止计时，读出秒表的读数t′．

（1）写出用上述测量计算重力加速度g的表达式为g=$\frac{2（n-1）^{2}h}{{t}^{2}}$．
（2）为了减小误差，改变h的数值，测出多组数据，记录在表格听t是水滴从水龙头口到挡板所用的时间，即水滴在空中运动的时间，请在上图的坐标纸中作出适当的图象，并利用图象求出重力加速度的值g=9.7m/s2．（要求保留两位有效数字）
次数高度h/cm空中运动时间t/s$\frac{1}{2}$t2/s2
120.00.200.020
225.00.220.024
332.00.260.034
438.00.280.040
544.00.300.045
650.00.320.050

如图，S1、S2是两个相干波源，频率f=136HZ,波在介质中传播的速度为v=340m/s，他们之间的相对位置和尺寸如图所示。

①相干波源的波长为 m；

②线段AB（含A、B两点）上存在 个振动加强点。
4．利用速度传感器与计算机结合，可以自动作出物体运动的图象．某同学在一次实验中得到的运动小车的速度一时间图象如图所示，以下说法正确的是（　　）
A．小车做曲线运动
B．小车先做匀加速运动，后做匀减速运动
C．小车运动的最大速度约为0.8m/s
D．小车的位移一定大于8m
11．下述几种场中有可能使带电粒子（不计重力）作匀速圆周运动的是（　　）
A．匀强电场B．匀强磁场
C．点电荷的电场D．通电直导线的磁场
7．关于滑动摩擦力，下列说法正确的是（　　）
A．静止的物体不可能受到滑动摩擦力
B．滑动摩擦力的大小只与动摩擦因数和物体间的压力的大小有关
C．滑动摩擦力的大小与接触面积大小有关
D．滑动摩擦力的大小与相对运动的速度的大小有关
8．如图，A、B两辆玩具小车质量之比为2：1，小车间连着一根细线，并压缩一个轻质弹簧，放在光滑平面上，现突然剪断细线至弹簧与两小车脱离这一极短过程，A、B两小车（　　）
A．合力之比为2：1B．合力之比为1：2C．加速度之比为1：2D．加速度之比为1：1

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网