题目内容

14．如图，在倾角θ=37°的粗糙斜面上距离斜面底端s=1m处，有一质量m=1kg的物块，在竖直向下的恒力F作用下，由静止开始沿斜面下滑．到达斜面底端时立即撤去F，物块又在水平面上滑动一段距离后停止．不计物块撞击水平面时的能量损失，物块与各接触面之间的动摩擦因数相同，g取10m/s2，sin 37°=0.6，cos 37°=0.8．当F=30N时，物块运动过程中的最大速度为4m/s，求：
（1）物块与接触面之间的动摩擦因数；
（2）当F=0时，物块运动的总时间；
（3）改变F的大小，物块沿斜面运动的加速度a随之改变．当a为何值时，物块运动的总时间最小，并求出此最小值．

分析 （1）物块在斜面上做匀加速运动，在水平面上做匀减速运动，所以物块到达斜面底端时速度最大．先根据运动学公式求出加速度．再由牛顿第二定律求出动摩擦因数；
（2）当F=0时，由牛顿第二定律求出两个过程的加速度，再由位移公式求出物块在斜面上下滑的时间，由速度公式求得物块在水平面上运动的时间，从而求得总时间；
（3）先根据位移时间公式得到总时间与加速度a的关系式，再运用数学知识求解．

解答 解：（1）物块到达斜面底端时速度最大，设物块在斜面上的加速度为a，根据运动学公式
  v2=2as ①
代入数据得 a=8m/s2 ②
对斜面上物块受力分析，则得
  FN=（mg+F）cosθ ③
（mg+F）sinθ-Ff=ma ④
又 Ff=μFN ⑤
代入数据，解得 μ=0.5．⑥
（2）当F=0时，由③④⑤得
  mgsinθ-μmgcosθ=ma1 ⑦
设物块在斜面上的运动时间为t1，在水平面上的运动时间为t2，则 s=$\frac{1}{2}$a1${{t}_{1}}^{2}$ ⑧
到达底端时速度为v=$\sqrt{2{a}_{1}s}$=μgt2 ⑨
代入数据解得t=t1+t2=1.4s．⑩
（3）设此时物块在斜面上的加速度为a2，由⑧⑨得总时间为
t1+t2=$\sqrt{\frac{2s}{{a}_{2}}}+\frac{\sqrt{2{a}_{2}s}}{μg}$ （11）
根据基本不等式 $\sqrt{\frac{2s}{{a}_{2}}}+\frac{\sqrt{2{a}_{2}s}}{μg}$≥2$\sqrt{\sqrt{\frac{2s}{{a}_{2}}}•\frac{\sqrt{2{a}_{2}s}}{μg}}$ （12）
即当$\sqrt{\frac{2s}{{a}_{2}}}=\frac{\sqrt{2{a}_{2}s}}{μg}$时，总时间有最小值．（13）
解得 a2=μg=5m/s2 （14）
tmin=$\frac{2\sqrt{10}}{5}$s．（15）
答：
（1）物块与接触面之间的动摩擦因数为0.5．　
（2）当F=0时，物块运动的总时间为1.4 s．
（3）当a为5m/s2 时，物块运动的总时间最小，此最小值为$\frac{2\sqrt{10}}{5}$s．

点评 解决本题的关键能够正确地受力分析，运用牛顿第二定律和运动学公式求解，知道加速度是联系力学和运动学的桥梁．对于极值问题，往往先由物理规律得到解析式，再由数学知识求解．

练习册系列答案
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