题目内容
（9分）假设宇宙中存在一些离其它恒星较远的、由质量相等的四颗星组成的四星系统，设其它星体对它们的引力作用可忽略。已知稳定的四星系统存在两种基本构成形式，一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，第四颗位于其中心，顶点上的三颗星沿外接于等边三角形的圆形轨道运行；另一种形式是四颗星位于正方形的四个顶点上，围绕正方形的中心做圆轨道运行。设所有星体的质量均相等，等边三角形边长和正方形边长相等，试求出这两种情况下四星系统的运动周期T1和T2之比。
【答案】
【解析】本题考查万有引力定律中的三星、四星系统问题的分析能力，对于四星系统，要画出示意图，找出某个星体运动的轨道半径，分析该星体所受其它星体的万有引力，求出合力，利用合力等于向心力列方程解出
对于第一种形式，一个星体在其它三个星体的万有引力作用下围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动，其轨道半径
,由万有引力定律、向心力公式和牛顿第二定律可知
，解得周期
对于第二种形式，其轨道半径为
，由万有引力定律、向心力公式和牛顿第二定律可知
，解得
，所以
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