Question

1．如图所示，一半径r=0.2m的$\frac{1}{4}$光滑圆弧形槽底端B与水平传带相接，传送带的运行速度为v₀=4m/s，长为L=1.25m，滑块与传送带间的动摩擦因数μ=0.2，DEF为固定于竖直平面内的一段内壁光滑的中空方形细管，EF段被弯成以O为圆心、半径R=0.25m的一小段圆弧，管的D端弯成与水平传带C端平滑相接，O点位于地面，OF 连线竖直．一质量为M=0.2kg的物块a从圆弧顶端A点无初速滑下，经过传送带，然后滑块被传送带送入管DEF，已知a可视为质点，a横截面略小于管中空部分的横截面，重力加速度g取10m/s²．求：

（1）滑块a到达底端B时的速度v_B；
（2）滑块a刚到达管顶F点时对管壁的压力；
（3）滑块a滑到F点飞出后落地，求滑块a的落地点到O点的距离x（不计空气阻力）．

Answer 1

分析 （1）滑块a从A下滑到B的过程中，支持力不做功，只有重力做功，机械能守恒，由机械能守恒定律求解速度v_B；
（2）先研究滑块传送带上的运动过程，再研究滑块冲上细管的过程：滑块在传送带上做匀加速运动，根据牛顿第二定律和运动学公式结合求出滑块到达C点时的速度，滑块从C至F，由机械能守恒定律求出到达F点时的速度，由牛顿第二定律求出管道对滑块的弹力，由牛顿第三定律即可解得滑块在F点时对管壁的压力；
（3）滑块从F点飞出做平抛运动，运用运动的分解法求解滑块a的落地点到O点的距离x．

解答 解：（1）设滑块到达B点的速度为v_B，由机械能守恒定律，有
   Mgr=$\frac{1}{2}$Mv_B²．
解得 v_B=2m/s                            
（2）滑块在传送带上做匀加速运动，受到传送带对它的滑动摩擦力，
由牛顿第二定律 μMg=Ma
滑块对地位移为L，末速度为v_C，设滑块在传送带上一直加速
由速度位移关系式 2aL=v_C²-v_B²
代入数据解得v_C=3m/s＜4m/s，可知滑块未达共速                 
滑块从C至F，由机械能守恒定律，有 $\frac{1}{2}$Mv_C²=MgR+$\frac{1}{2}$Mv_F²
代入数据解得 v_F=2m/s
在F处，由牛顿第二定律得
   Mg+F_N=M$\frac{{v}_{F}^{2}}{R}$
代入数据解得 F_N=0.6N                                               
根据牛顿第三定律知，管上壁受的压力为 F_N′=F_N=0.6N，方向竖直向上．
（3）滑块从F点飞出做平抛运动，得
  x=v_Ft，
  R=$\frac{1}{2}$gt²．
代入数据解得 x=$\frac{\sqrt{5}}{5}$m
答：
（1）滑块a到达底端B时的速度v_B是2m/s．     
（2）滑块a刚到达管顶F点时对管壁的压力是0.6N，方向竖直向上．
（3）滑块a滑到F点飞出后落地，滑块a的落地点到O点的距离x是$\frac{\sqrt{5}}{5}$m．

点评 本题按时间顺序进行分析，关键要把握每个过程所遵守的物理规律，运用机械能守恒、牛顿第二定律、运动学公式结合进行求解．