题目内容

20．如图甲所示，光滑的水平地面上固定一长L=1.7m的木板C，C板的左端有两个可视为质点的物块A和B，其间夹有一根原长为1.0m、劲度系数k=200N/m的轻弹簧，此时弹簧没有发生形变，且与物块不相连．已知mA=mC=20kg，mB=40kg，A与木板C、B与木板C的动摩擦因数分别为μA=0.50，μB=0.25．假设最大静摩擦力与滑动摩擦力相等．现用水平力F作用于A，让F从零逐渐增大，使A缓慢移动而逐渐压缩弹簧，压缩了一定量后又推动B缓慢地向右移动，当B缓慢向右移动0.5m时，使弹簧储存了弹性势能E0．（g=10m/s2）问：

（1）以作用力F为纵坐标，物块A移动的距离为横坐标，试通过定量计算在图乙的坐标系中画出推力F随物块A位移的变化图线．
（2）求出弹簧贮存的弹性势能E0的大小．
（3）当物块B缓慢地向右移动了0.5m后，保持A、B两物块间距，将其间夹有的弹簧更换，使得压缩量仍相同的新弹簧贮存的弹性势能为12E0，之后同时释放三物体A、B和C，已被压缩的轻弹簧将A、B向两边弹开，设弹开时A、B两物体的速度之比始终为2：1，求哪一物块先被弹出木板C？最终C的速度是多大？

分析 （1）先求出A与C间的摩擦力为fA=μAmAg=100N，B与C间摩擦力为fB=μBmBg=100N．力F从零逐渐增大，当增大到100N时，物块A开始向右移动压缩轻弹簧，此时B仍保持静止，弹簧的压缩量设为x，力F=fA+kx，当x=0.5m时，力F=fA+fB=200N，此时B将缓慢地向右移．B在移动0.5m的过程中，力F保持F=200N不变，弹簧压缩了0.5m，B离木板C的右端0.2m，A离木板C有左端1.0m．根据这些条件可作出力F随A位移的变化图线；
（2）根据F-S图象的“面积”可求出力F在B缓慢地向右移动0.5m的过程中所做的功．根据能量守恒定律得知，推力做功等于弹簧储存的弹性势能E0的大小与A克服摩擦力做功之和；
（3）分析三个物体的运动状态：撤去力F之后，AB两物块给木板C的摩擦力的合力为零，木板静止不动，由动量守恒可求出AB速度之比，则可得到位移关系，判断哪个物块先弹出木板C．对三个物体，由能量守恒定律和动量守恒结合求解最终C的速度．

解答 解：（1）A与C间的摩擦力为：fA=μAmAg=0.5×20×10N=100N，B与C间摩擦为：fB=μBmBg=0.25×40×10N=100N，
推力F从零逐渐增大，当增大到100N时，物块A开始向右移动压缩轻弹簧（此时B仍保持静止），设压缩量为x，则力F=fA+kx，
当x=0.5m时，力F=fA+fB=200N，此时B将缓慢地向右移．B在移动0.5m的过程中，力F保持F=200N不变，弹簧压缩了0.5m，B离木板C的右端0.2m，A离木板C有左端1.0m．作出力F随A位移的变化图线如图所示；
（2）在物块B移动前，力F作用于物块A，压缩弹簧使弹簧贮存了弹性势能E0，物块A移动了s=0.5m，设力F做功为W，由能量守恒可得弹簧贮存的弹性势能大小为：E0=W-fAs=$\frac{100+200}{2}$×0.5J-100×0.5J=25J；
（3）撤去力F之后，AB两物块给木板C的摩擦力的合力为零，故在物块AB滑离木板C之前，C仍静止不动．物块AB整体所受外力的合力也为零，其动量守恒，可得：
以初速度方向为正方向，由动量守恒定律得：mAvA=mBvB
由题可知，始终vA：vB=mB：mA=2：1 当物块B在木板C上向右滑动了0.2m，物块A则向左滑动了0.4m，但A离木板C的左端还有d=0.6m．可见，物块B先滑离木板C．
并且两物体的相对位移△s=0.4m+0.2m=0.6m＞0.5m（弹簧的压缩量），弹簧储存的弹性势能已全部释放，
由能量守恒定律有：12E0=$\frac{1}{2}$mAvA2+$\frac{1}{2}$mBvB2+fA•△s
由此求出物块B滑离木板C时A物块的速度为：vA=4m/s
设此后A滑离木板C时，物体A的速度vA′，木板C的速度vc′，有动量守恒定律有：
 mAvA=mAvA′+mCvC′
 由能量守恒有：fAd=-$\frac{1}{2}$mAvA2-（$\frac{1}{2}$mA${v}_{A}^{′2}$+$\frac{1}{2}$mC${v}_{C}^{′2}$）
将d=0.6m及有关数据代入上两式解得：vC′=1m/s，（vC′=3m/s，不合题意舍弃）
答：（1）推力F随A位移的变化图线如图所示；
（2）弹簧储存的弹性势能E0的大小为25J；
（3）物块B先滑离木板C，最终C的速度是1m/s．

点评 本题难度较大，既要分析三个物体的受力情况，确定出它们的运动状态，还要根据动量守恒和能量守恒定律结合求解C的最终速度．

练习册系列答案
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（2）利用两个光电门和上述小铁片可以研究匀加速度直线运动．如图，将铁片固定在滑块上，滑块自由滑下后光电门1的计时器上显示0.031s，已知两光电门之间的距离l=0.3m，滑块下滑的加速度0.4m/s2，则光电门2的计时器上显示应最接近D
A 0.028s    B 0.026s    C 0.024s    D 0.022s．
11．图甲是科大著名服务机器人“可佳”，图乙是其处于水平面上要执行一项任务的运动轨道，其中A、B是长为3.0m的直导轨，B、C是半径为1m的四分之一圆弧轨道，C、D是长为2.0m的直导轨．执行任务时，“可佳”从A出发，先做匀加速运动，经过1.2s速度达到1.5m/s时开始做匀速率运动，到达D点前以大小是2倍于加速运动的加速度减速，到D点时恰好停止，则机器人“可佳”（　　）
A．在该次运动的整个过程中路程为7m
B．在该次运动的整个过程中位移大小为（3$\sqrt{2}$+1）m
C．在该次运动的整个过程中运动时间为$\frac{29+2π}{6}$s
D．在圆弧轨道上运动的速度变化率为2.25m/s2
8．下列说法正确的是（　　）
A．卢瑟福通过实验发现了质子的核反应方程为${\;}_{2}^{4}$He+${\;}_{7}^{14}$N→${\;}_{8}^{17}$O+${\;}_{1}^{1}$H
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C．已知质子、中子、α粒子的质量分别为m1，m2，m3，那么，2个质子和2个中子结合成一个α粒子，释放的能量是（2m1+2m2-m3）c2
D．铀（${\;}_{92}^{238}$U）经过多次α、β衰变形成稳定的铅（${\;}_{82}^{206}$Pb）的过程中，有4个中子转变成质子
15．如图所示，在“3•11”日本大地震的一次抢险救灾工作中，一架沿水平直线飞行的直升机利用降落伞匀速向下向灾区群众投放救灾物资．假设物资的总重量为G1，圆顶形降落伞伞面的重量为G2，有8条相同的拉线与物资相连，另一端均匀分布在伞的边缘上，每根拉线和竖直方向都成30°角，则每根拉线上的张力大小为（　　）
A．$\frac{\sqrt{3}{G}_{1}}{12}$B．$\frac{\sqrt{3}（{G}_{1}+{G}_{2}）}{12}$C．$\frac{{G}_{1}+{G}_{2}}{8}$D．$\frac{{G}_{1}}{4}$
5．在运动会上，运动员在标准400m跑道的第一跑道上比赛，按规定跑完1500m，则运动员的位移大小是（　　）
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12．如图所示，一细束白光通过玻璃三棱镜折射后分为各种单色光，取其中a、b、c三种色光，下列说法正确的是（　　）
A．玻璃对c光的折射率最小B．在三棱镜中的c光传播速度最小
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9．下列说法正确的是（　　）
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18．如图（甲）所示，光滑斜杆与水平方向的夹角为θ，其底端固定一带正电的、电量为Q的小球A，另一也带正电的小球B从斜杆的底端（但与A未接触）静止释放，A，B均可视为质点和点电荷、小球B沿斜杆向上滑动过程中能量随位移s的变化图象如图（乙）所示，其中线Ⅰ为重力势能随位移变化图象，线Ⅱ为动能随位移变化图象，已知重力加速度为g，静电力恒量为k，则根据图中信息可知（　　）
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C．小球B在运动过程中的最大速度为$\sqrt{\frac{2{s}_{3}{E}_{1}gsinθ}{{E}_{3}}}$
D．斜杆底端至小球B速度最大处由Q形成的电场的电势差为$\frac{{s}_{2}{E}_{3}+{s}_{3}{E}_{2}}{Q{s}_{3}}$

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