Question

12．如图所示，平行且足够长的两条光滑金属导轨，相距0.5m，与水平面夹角均为30°，金属导轨的电阻不计．导轨之间的匀强磁场垂直穿过导轨平面，磁感应强度B=0.4T．金属棒ab和cd的质量分别为0.1kg和0.2kg，电阻均为0.1Ω，垂直导轨放置．某时刻棒ab在外力作用下，沿着导轨向上滑动，与此同时，棒cd由静止释放．在运动过程中，棒ab始终保持速度v₀=1.5m/s不变，两金属棒与导轨始终垂直且接触良好．取重力加速度g=10m/s²．求：
（1）棒ab产生的感应电动势；
（2）闭合回路中的最小电流和最大电流；
（3）棒cd最终稳定运动时的速度大小．

Answer 1

分析 （1）根据E=BLv求ab棒产生的感应电动势；
（2）（3）由欧姆定律求出感应电流，由公式F=BIL求出cd棒所受安培力的大小，判断出其方向，再求解cd棒所受合力的大小和方向，即可分析cd棒的运动情况．释放cd棒后，cd棒沿导轨平面向下做加速运动，回路abdc中产生的感应电动势逐渐增大，感应电流逐渐增大，cd所受的安培力增大，合力减小，加速度减小，当合力减小到零时，cd棒做匀速直线运动，速度达到最大，回路中的电流也达到最大．以cd为研究对象，由平衡条件求出最大电流．此时回路中感应电动势为ab与cd两棒所产生的感应电动势之和，由欧姆定律和公式电动势结合求解最大速度．

解答 解：（1）根据E=BLv求得ab棒切割磁感线时的电动势为：E_ab=BLv=0.4×0.5×1.5V=0.3V；                                
（2）刚释放棒cd时，有：${I}_{1}=\frac{E}{2R}=\frac{0.3}{2×0.1}A=1.5A$
棒cd受到安培力为：F₁=BIL=0.4×1.5×0.5N=0.3N
棒cd受到的重力沿导轨向下的分力为：${G}_{1}=mgsin30°=0.2×10×\frac{1}{2}N=1N$
因为F₁＜G₁，棒cd沿导轨向下加速运动，即abcd闭合回路的感应电动势增大；电流也增大，所以最小电流为：
I_min=I₁=1.5A
当棒cd的速度达到最大时，回路的电流最大，此时棒cd的加速度为0，有：mgsin30°=BIL
得：${I}_{max}=\frac{mgsin30°}{BL}=\frac{0.2×10×\frac{1}{2}}{0.4×0.5}A=5A$
（3）由（2）分析知，当CD速度稳定后电路中的电流最大为5A，根据欧姆定律有：
${I}_{max}=\frac{E}{2R}=\frac{BL（v+{v}_{cd}）}{2R}$
所以可得cd棒下滑的速度为：
${v}_{cd}=\frac{2R{I}_{max}}{BL}-v=\frac{2×0.1×5}{0.4×0.5}-1.5m/s=3.5m/s$
答：（1）棒ab产生的感应电动势为0.3V；
（2）闭合回路中的最小电流为1.5A，最大电流为5A；
（3）棒cd最终稳定运动时的速度大小为3.5m/s．

点评 本题是电磁感应中的力学问题，综合运用电磁学知识和力平衡知识．对于第（2）问是两棒切割磁感线类型，要注意回路中感应电动势等于两棒产生的感应电动势之和．