题目内容

1．如图所示，在真空玻璃管中装有热阴极K和带有小孔的阳极A．在A、K之间加上电压U后，不断地有质量为m、电量为e的电子从阴极K由静止加速到达阳极A，并从小孔射出．接着电子进入平行板电容器C，电容器两极板间距为d，板长为$\frac{L}{4}$，两极板间加上交变电压U′=U0sinωt（电子在两极板间运动时间很短且都可以从两极板间射出），使不同时刻通过的电子发生不同程度的偏转；电容器C和荧光屏S之间有一无场区和一水平向右的匀强磁场区，宽度都为L，电子经过磁场后打在荧光屏上．
（1）求电子经过电容器和磁场区域的时间之比；
（2）若荧光屏上呈现一条直线亮斑，磁感应强度B的大小应满足的条件是什么？
（3）求（2）中荧光屏上所呈现直线亮斑的长度是多小？

分析 （1）电子在加速电场中加速，在偏转电场中做类平抛运动，在无场区域做匀速直线运动，在磁场区域做螺旋线运动，应用运动学公式求出电子的运动时间之比．
（2）在荧光屏上呈现一条亮线，电子在磁场中的运动时间应该是电子做圆周运动周期的整数倍，据此求出磁感应强度．
（3）求出电子在偏转电场中的偏移量，在无场区域在竖直方向的位移，然后求出直线亮斑的长度．

解答 解：（1）电子在两极板间运动时间很短，可以认为电子在两极板运动时极板间的电场强度不变，
电子在偏转电场中做类平抛运动，电子在水平方向做匀速直线运动，电子在磁场中做螺旋线运动，在水平方向做的是匀速直线运动，电子在水平方向的速度保持不变，电子进入偏转电场时的速度为v，
则电子经过电容器和磁场区域的时间之比：$\frac{{t}_{1}}{{t}_{2}}$=$\frac{\frac{\frac{L}{4}}{v}}{\frac{L}{v}}$=$\frac{1}{4}$；
（2）电子在加速电场中做加速运动，由动能定理得：eU=$\frac{1}{2}$mv2-0，
解得：v=$\sqrt{\frac{2eU}{m}}$，
电子在匀强磁场中做螺旋线运动，在垂直与磁场方向上做圆周运动的周期：T=$\frac{2πm}{eB}$，
荧光屏上呈现一条直线亮斑，则电子在磁场中的运动时间是电子做圆周运动的整数倍，
即：t=$\frac{L}{v}$=nT  n=1、2、3…
解得：B=$\frac{2nπ}{L}$$\sqrt{\frac{2mU}{e}}$  （n=1、2、3、…）；
（3）电子在两极板间运动时间很短，可以认为电子在两极板运动时极板间的电场强度不变，
电子在偏转电场中做类平抛运动，运动时间：t1=$\frac{\frac{L}{4}}{v}$=$\frac{L}{4}$$\sqrt{\frac{m}{2eU}}$，
在偏转电场中的最大偏移量：y1=$\frac{1}{2}$amt12=$\frac{1}{2}$$\frac{e{U}_{0}}{md}$t12=$\frac{{U}_{0}{L}^{2}}{64Ud}$，
电子离开偏转电场后在无场区域做匀速直线运动，在竖直方向的最大偏移量：
y2=vyt′=amt1t′=$\frac{e{U}_{0}}{md}$×$\frac{\frac{L}{4}}{v}$×$\frac{L}{v}$=$\frac{{U}_{0}{L}^{2}}{8Ud}$，
电子在磁场中做螺旋线运动，在竖直方向的位移为零，
则光屏上所呈现直线亮斑的长度：Y=2（y1+y2）=$\frac{9{U}_{0}{L}^{2}}{32Ud}$；
答：（1）电子经过电容器和磁场区域的时间之比为1：4；
（2）若荧光屏上呈现一条直线亮斑，磁感应强度B的大小应满足的条件是B=$\frac{2nπ}{L}$$\sqrt{\frac{2mU}{e}}$  （n=1、2、3、…）；
（3）在（2）中荧光屏上所呈现直线亮斑的长度是$\frac{9{U}_{0}{L}^{2}}{32Ud}$．

点评 本题考查了电子在电场与磁场中的运动，电子的运动过程分四个阶段，运动过程很复杂，分析清楚电子的运动过程是正确解题的关键，分析清楚电子运动过程后，应用动能定理、运动学公式、电子在磁场中做圆周运动的周期公式可以解题．

练习册系列答案
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H．开关S、导线若干
①在上述提供的器材中，要完成此实验，只有C和F两个选项不选，其中C选项不选的原因是量程太大；
②测量要求电表读数不得小于其量程的$\frac{1}{3}$，根据你所设计的电路在题给的实物图上画出其它连线；
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