Question

2．如图甲所示，A、B是两水平放置的足够长的平行金属板，组成偏转匀强电场，B板接地．A板电势φ_A随时间变化情况如图乙所示，C、D两平行金属板竖直放置，中间有正对两孔O₁′和O₂，两板间电压为U₂，组成减速电场．现有一带负电粒子在t=0时刻以一定初速度沿AB两板间的中轴线O₁O₁′进入，并能从O₁′沿O₁′O₂进入C、D间，刚好到达O₂孔，已知带电粒子带电荷量为-q，质量为m，不计其重力．求：
（1）该粒子进入A、B的初速度v₀的大小；
（2）为了使该粒子顺利通过AB之间，求A、B两板间距的最小值．

Answer 1

分析 （1）粒子在AB间运动时，在水平方向不受力，做匀速直线运动，进入O₁′孔的速度即为进入A、B板的初速度．研究粒子在CD间运动的过程，运用动能定理求解．
（2）粒子在AB间运动时，竖直方向上做周期性的运动，在一个周期T内，竖直方向上的速度变为初始状态；要使该带电粒子能够返回至O₁′，应满足在$\frac{T}{4}$的整数倍时从CD间出去，根据粒子在匀强电场中的偏转位移公式求出板间距．

解答 解：（1）因粒子在A、B间运动时，水平方向不受外力做匀速运动，所以进入O₁′孔的速度即为进入A、B板的初速度．
在C、D间，由动能定理得：qU₂=$\frac{1}{2}$mv₀²
解得：v₀=$\sqrt{\frac{2q{U}_{2}}{m}}$
（2）由于粒子进入A、B后，在一个周期T内，竖直方向上的速度变为初始状态．即：v_竖=0，
若在第一个周期内进入O₁′孔，则对应两板最短长度为L=v₀T，若在该时间内，粒子刚好不到A板而返回，则对应两板最小间距，设为d．
所以有：$\frac{1}{2}$a（$\frac{T}{4}$）²×2=$\frac{d}{2}$，a=$\frac{q{U}_{1}}{md}$
得：d=$\sqrt{\frac{q{U}_{1}{T}^{2}}{8m}}$=$\frac{T}{2}$$\sqrt{\frac{q{U}_{1}}{2m}}$．
因此A、B两极板间距d的最小值是$\frac{T}{2}$$\sqrt{\frac{q{U}_{1}}{2m}}$．
答：（1）该粒子进入A、B的初速度v₀的大小是$\sqrt{\frac{2q{U}_{2}}{m}}$；
（2）A、B两板间距的最小值是$\frac{T}{2}$$\sqrt{\frac{q{U}_{1}}{2m}}$．

点评 本题是道综合性较强的题目，要能正确分析粒子的运动情况，抓住运动过程的对称性分析粒子交变电场中的运动过程是关键，结合动能定理、牛顿第二定律和运动学公式求解，是此类题目常用的方法．