Question

（2011?安徽三模）如图所示，在第二象限内有水平向右的匀强电场，在第一、第四象限内分别存在匀强磁场，磁感应强度大小相等，方向如图所示；现有一个带电粒子在该平面内从x轴上的P点，以垂直于x轴初速度v₀进入匀强电场，恰好经过y轴上的Q点且与y轴成45°角射出电场，再经过一段时间又恰好垂直于x轴进入下面的磁场．已知OP之间的距离为d，（不计粒子的重力）求：
（1）Q点的坐标；
（2）带电粒子自进入电场至在磁场中第二次经过x轴的时间．

Answer 1

分析：（1）带电粒子垂直进入匀强电场中做类平抛运动，竖直方向做匀速直线运动，水平方向做初速度为零的匀加速直线运动，运用平均速度分别表示水平位移和竖直位移．将粒子在Q点的速度进行分解，得到两个分速度的关系，即可求出带电粒子的坐标．
（2）画出带电粒子在磁场中运动的轨迹．由几何关系求出粒子圆周运动的半径，可求出圆周运动的周期，根据轨迹所对的圆心角求出粒子在磁场中运动的时间．粒子在电场中竖直方向做匀速直线运动，由Q的纵坐标和初速度可求出时间．即能求得总时间．

解答：解：
（1）设Q点的纵坐标为h，到达Q点的水平分速度为v_x，则由类平抛运动的规律可知
   h=v₀t
   d=

1

2

v_xt
tan45°=

vx

v0

得h=2d，故Q点的坐标为（0，2d）
（2）粒子在磁场中的运动轨迹如图所示，设粒子在磁场中运动的半径为R，周期为T．则由几何关系可知：R=

2

?2d=2

2

d，
带电粒子进入磁场时的速度大小为  v=

2

v₀
则粒子在磁场中运动的周期为  T=

2πR

v

=

4π

v0

d
设粒子在电场中的运动时间为t₁
   t₁=

2d

v0

设粒子在磁场中的运动时间为t₂
   t₂=

3

8

T+

1

2

T=

7

8

T=

7π

2v0

d
则总时间为   t=t₁+t₂=

(4+7π)d

2v0

答：
（1）Q点的坐标为（0，2d）；
（2）带电粒子自进入电场至在磁场中第二次经过x轴的时间为

(4+7π)d

2v0

．

点评：对于类平抛运动，采用运动的分解法研究，要抓住两个分运动的等时性．对于粒子在磁场中的圆周运动，画轨迹是关键．