Question

宇航员在一行星上以速度v₀竖直上抛一的物体，不计空气阻力，经t秒后落回手中，已知该星球半径为R．
（1）求该行星的密度
（2）求该行星的第一宇宙速度．
（3）要使物体沿竖直方向抛出而不落回星球表面，沿星球表面抛出的速度至少是多大？已知取无穷远处引力势能为零时，物体距星球球心距离r时的引力势能为：EP=-G

mM

r

．（G为万有引力常量）

Answer 1

分析：（1）根据竖直上抛运动的速度时间关系公式列式求解重力加速度；然后根据重力等于万有引力列式求解星球的质量；最后根据密度的定义式求解该星球的密度；
（2）根据重力等于向心力列式求解；
（3）根据机械能守恒定律列式求解．

解答：解：（1）竖直上抛运动的上升和下降时间是相等的，故：
v0=g

t

2

重力等于万有引力，故：
G

Mm

R2

=mg
密度为：
ρ=

M

4 3 πR3

联立解得：ρ=

3vo

2πGRt

；
（2）由题意得星球表面重力加速度为g=

2v0

t

；
沿水平方向抛出而不落回星球表面意味球的速度达到第一宇宙速度，万有引力提供向心力，有：
mg=m

v 2 1

R

即v1=

Rg

=

2v0R t

（3）由表面重力加速度知势能公式变为Ep=-G

mM

r

=-

mgR2

r

=-

2mv0R2

rt

由机械能守恒得：

1

2

m

v

2 2

-

2mv0R2

Rt

=0
使物体沿竖直方向抛出而不落回星球表面，沿星球表面抛出的速度至少为：v2=2

v0R t

答：（1）该行星的密度为

3vo

2πGRt

；
（2）该行星的第一宇宙速度为

2v0R t

；
（3）要使物体沿竖直方向抛出而不落回星球表面，沿星球表面抛出的速度至少是2

v0R t

．

点评：本题关键是先根据竖直上抛运动得到重力加速度，然后根据重力等于万有引力并提供向心力列式，不难．