Question

15．如图（甲）所示，弯曲部分AB和CD是两个半径相等的四分之一圆弧，中间的BC段是竖直的薄壁细圆管（细圆管内径略大于小球的直径），分别与上、下圆弧轨道相切连接，BC段的长度L可作伸缩调节．下圆弧轨道与地面相切，其中D、A分别是上、下圆弧轨道的最高点与最低点，整个轨道固定在竖直平面内．一小球多次以某一速度从A点水平进入轨道而从D点水平飞出．今在A、D两点各放一个压力传感器，测试小球对轨道A、D两点的压力，计算出压力差△F．改变BC间距离L，重复上述实验，最后绘得△F-L的图线如图（乙）所示．（不计一切摩擦阻力，g取10m/s²）

（1）某一次调节后D点离地高度为0.8m．小球从D点飞出，落地点与D点水平距离为2.4m，求小球过D点时速度大小．
（2）求小球的质量和弯曲圆弧轨道的半径大小．

Answer 1

分析 （1）小球从D点飞出后做平抛运动，根据竖直方向做自由落体运动，水平方向做匀速运动列式即可求解；
（2）设轨道半径为r，从A到D过程中机械能守恒，在A、D两点过运用向心力公式求出两点的压力大小，根据压力差列式结合图象即可求解．

解答 解：（1）小球在竖直方向做自由落体运动，有：${H_D}=\frac{1}{2}g{t^2}$
水平方向做匀速直线运动，有：X=V_Dt
联立解得：v_D=6m/s
（2）设轨道半径为r，A到D过程机械能守恒：$\frac{1}{2}mv_A^2=\frac{1}{2}mv_D^2+mg（2r+L）$
在A点：${F_A}-mg=m\frac{V_A^2}{r}$
在D点：${F_D}+mg=m\frac{V_D^2}{r}$
由以上三式得：$△F={F_A}-{F_D}=6mg+2mg\frac{L}{r}$
由图象纵截距得：6mg=12   
得：m=0.2kg    
由L=0.5m时△F=17N     
代入得：r=0.4m  
答：（1）某一次调节后D点离地高度为0.8m．小球从D点飞出，落地点与D点水平距离为2.4m，小球过D点时速度大小是6m/s．
（2）小球的质量是0.2kg，弯曲圆弧轨道的半径大小是0.4m．

点评 本题主要考查了平抛运动基本公式、机械能守恒定律、向心力公式的应用，要求同学们能根据图象得出有效信息，难度适中．