Question

（20分）质量为m的一簇离子在P点以同一速度v向不同方向散开（如图）。垂直纸面的均匀磁场B将这些离子聚焦于R点，距离PR＝2a，离子的轨道应是对称的。试确定磁场区的边界。

Answer 1

解析：在磁场B中，作用于电量为Q、速度为v的质点上的洛仑兹力为QvB。结果使粒子在半径为r的圆轨道上运动，即：

　　

质量为m的所有粒子都在半径为的相同的圆轨道上运动。离开磁场后，它们将沿最后的切线方向直线飞行。磁场边界应按所有离子都打在同一点R的要求去寻找。要解决的数学问题是，粒子应从这些半径为r的圆的何处离开，才能使它们的切线在R点相交。这些半径为r的圆的圆心都位于y轴上（如图1所示）

在半径为r的圆轨道上运动的粒子，在坐标为（x，y）的A点离开磁场，沿切线飞向R。由相似三角形得到：　　　　　　            

　              

圆的方程为

消去（y－b），得到满足条件的A点的集合，因此，表示磁场边界的函数为：

　　　　　　

这是一个四次函数。只要在第一象限画出这个函数的曲线，把它对y轴反演即可。

表示磁场边界的函数的形式取决于给定的距离a和半径r的相对大小（见图2（a），（b），（c））。

　　如果半径r小于a（小速度强磁场），则磁场边界无限延伸，向任何方向出发的离子也都能聚焦^①。

　　如果半径r等于a，所有的离子也都能聚焦^②。磁场边界在P和R点处垂直出发，处在有限的范围内。

如果半径r大于a，边界更为平坦。那些出发方向比P点切线更陡的离子不能达到R点。

（注：^①原文“向任何方向出的离子都能聚焦”的结论不妥。在r＜a时，v与x轴夹角大于90⁰的离子无法聚焦。^②在r＝a时，“所有的离子也都能聚焦” 的结论也不妥。v与x轴夹角大于90⁰的离子也无法聚焦。）