Question

航天宇航员在月球表面完成了如下实验：如图所示，在月球表面固定一竖直光滑圆形轨道，在轨道内的最低点，放一可视为质点的小球，当给小球水平初速度v₀时，小球刚好能在竖直面内做完整的圆周运动．已知引力常量为G，圆形轨道半径为r，月球的半径为R．求：
（1）月球表面的重力加速度g；
（2）月球的质量M；
（3）若在月球表面上发射一颗环月卫星，其最小发射速度．

Answer 1

分析：（1）小球从圆轨道最低点到最高点过程中，只有月球的引力做负功，由动能定理求得到达最高点的速度，而此刻速度满足月亮的引力提u供其沿圆周运动的向心力，由牛顿第二定律列方程，即可求得月球表面的重力加速度
（2）由月球表面的物体的重力约等于物体与月亮的万有引力可得月球的质量
（3）在月球表面上发射卫星的条件是，卫星的速度满足万有引力提供匀速圆周运动的向心力，由牛顿第二定律列方程即可

解答：解：（1）设小球的质量为m，月球的质量为M，因小球在最高点恰好完成圆周运动，设最高点时小球速度为v，由牛顿第二定律得：
mg=

mv2

r

①
从最低点带最高点过程中，由动能定理得：
-mg×2r=

1

2

mv²-

1

2

mv

2 0

②
由①②得g=

v 2 0

5r

③
（2）对于任一月球表面的物体m′，万有引力等于其重力，即：
m′g=

GMm′

R2

④
由③④得，M=

R2v 2 0

5Gr

⑤
（3）发射一颗环月卫星，设其质量为m₁，其最小发射速度v₁，则有：
m₁g=

mv 2 1

R

⑥
联立③⑥得，

v0 5Rr

5r

答（1）月球表面的重力加速度g=

v 2 0

5r

（2）月球的质量M=

R2v 2 0

5Gr

（3）最小发射速度v₁=

v0 5Rr

5r

点评：在任意星体的表面都有物体的万有引力等于重力这一等式常用，所谓第一宇宙速度即是万有引力恰提供其绕星球表面运行的向心力时的速度，此时轨道半径就是星球的半径