Question

19．小球A用不可伸长的轻绳悬于O点，在O点的正下方有一个可上下移动的钉子B，OB=d，初始时小球A与O同水平面无初速释放，绳长为L，为使球能绕B点做完整的圆周运动，试求d的取值范围．若绳能够承受的最大拉力为7mg，为保证球仍能绕B点做完整的圆周运动，d的取值范围又是多少？

Answer 1

分析 根据圆周运动的最高点的临界情况得出最高点的临界速度，通过最高点到D点运用动能定理列出表达式，从而结合几何关系求出d的取值范围．
根据最低点的最大拉力，结合牛顿第二定律列出表达式，再根据动能定理以及几何关系求出d的取值范围．

解答 解：（1）在D点有：$mg=m\frac{{{v}_{D}}^{2}}{r}$…①
从最高点到D点，根据动能定理有：$mg（L-2r）=\frac{1}{2}mv_D^2$…②
由①②解得：$r=\frac{2}{5}L$，
可知$d=L-r=\frac{3}{5}L$，
所以要使B完成完整的圆周运动，则d的范围为：$\frac{3}{5}L$≤d＜L                  
（2）右绳的拉力T=7mg，根据牛顿第二定律有：$7mg-mg=m\frac{v^2}{r}$，
从最高点到最低点C，根据动能定理有：$mgL=\frac{1}{2}mv_C^2$，
联立解得：$r=\frac{L}{3}$，$d=\frac{2}{3}L$
所以$\frac{3}{5}L$≤d≤$\frac{2}{3}L$．
答：为使球能绕B点做完整的圆周运动，d的范围为$\frac{3}{5}L$≤d＜L；若绳能够承受的最大拉力为7mg，为保证球仍能绕B点做完整的圆周运动，d的取值范围是$\frac{3}{5}L$≤d≤$\frac{2}{3}L$．

点评 本题考查了牛顿第二定律和动能定理的综合运用，关键抓住恰好通过最高点的临界情况以及最低点的最大拉力进行求解．