Question

如图竖直平面内的轨道ABCD由水平轨道AB与光滑的四分之一圆弧轨道CD组成，AB恰与圆弧CD在C点相切，轨道放在光滑的水平面上，如图所示。一个质量为m的小物块（可视为质点）从轨道的A端以初动能E冲上水平轨道AB，沿着轨道运动，由DC弧滑下后停在水平轨道AB的中点。已知水平轨道AB长为L，轨道ABCD的质量为3m。求：
   （1）小物块在水平轨道上受到摩擦力的大小。
   （2）为了保证小物块不从轨道的D端离开轨道，圆弧轨道的半径R至少是多大？
   （3）若增大小物块的初动能，使得小物块冲上轨道后可以达到最大高度是1.5R，试分析小物块最终能否停在轨道上？

 

Answer 1

【试题解析】 （1）小物块冲上轨道的初速度设为，最终停在AB的中点，跟轨道有相同的速度，设为v。在这个过程中，系统动量守恒，有 系统的动能损失用于克服摩擦做功，有 得 又 解得摩擦力 （2）若小物块刚好到达D处，此时它与轨道有共同的速度（与v相等），在此过程中系统总动能减少转化为内能（克服摩擦做功）和物块的势能，同理，有 解得要使物块不从D点离开滑道，CD圆弧半径至少为 （3）设物块以初动能E′冲上轨道，可以达到的最大高度是1.5R，物块从D点离开轨道后，其水平方向的速度总与轨道速度相等，达到最高点后，物块的速度跟轨道的速度相等（设为v₁），同理，有 物块从最高点落下后仍沿圆弧轨道运动回到水平轨道上沿BA方向运动，假设能沿BA运动x远，达到与轨道有相同的速度（等于v₂），同理，有， 结合④⑥式解得 即物块最终停在水平滑道AB上，距B为处。 【试题评析】本题考查动量守恒定律、功能关系，是一道典型的动量能量综合题。试题难度中等以上，对考生运用数学知识求解问题的能力要求较高。本题的亮点是（2）、（3）问考查学生情景迁移、类比推理的能力。只要对动量守恒有深刻的理解，物块不论停在何位置，系统的末速度都相同，损失的机械能与初动能的比值不变。抓住这些关系，题目的求解就变得简捷多了。