Question

16．宇航员驾驶宇宙飞船到达月球，他在月球表面做了一个实验：在离月球表面高度为h处，将一小球以初速度v₀水平抛出，水平射程为x．已知月球的半径为R，万有引力常量为G．不考虑月球自转的影响．求：
（1）月球表面的重力加速度大小g₀；
（2）月球的质量M；
（3）飞船在近月圆轨道绕月球做匀速圆周运动的速度v．

Answer 1

分析 （1）物体做平抛运动，根据分运动公式列式求解重力加速度；
（2）在月球表面，不计月球自传时，重力等于万有引力，列式求解即可；
（3）飞船在近月圆轨道绕月球做匀速圆周运动，重力提供向心力，列式求解即可．

解答 解：（1）设飞船质量为m，设小球落地时间为t，根据平抛运动规律
水平方向：x=v₀t         
竖直方向：h=$\frac{1}{2}{g}_{0}{t}^{2}$      
解得：${g}_{0}=\frac{2h{v}_{0}^{2}}{{x}^{2}}$            
（2）在月球表面忽略地球自转时有：$G\frac{Mm}{R^2}=m{g_0}$
解得月球质量：$M=\frac{2h{v}_{0}^{2}{R}^{2}}{{x}^{2}G}$          
（3）由万有引力定律和牛顿第二定律：$G\frac{Mm}{R^2}=m\frac{v^2}{R}$
解得：v=$\frac{{v}_{0}}{x}\sqrt{2hR}$
答：（1）月球表面的重力加速度大小为$\frac{2h{v}_{0}^{2}}{{x}^{2}}$；
（2）月球的质量M为$\frac{2h{v}_{0}^{2}{R}^{2}}{{x}^{2}G}$；
（3）飞船在近月圆轨道绕月球做匀速圆周运动的速度v为$\frac{{v}_{0}}{x}\sqrt{2hR}$．

点评 本题首先要通过平抛运动的知识求解月球表面的重力加速度，然后结合月球表面的重力等于万有引力、万有引力提供卫星圆周运动的向心力列式分析，不难．