Question

1．如图所示，一条长为L的绝缘细线上端固定在O点，下端系一质量为m的小球，将它放置一个范围足够大的匀强电场中，该电厂场的场强强大小为E，方向水平向右．已知小球的匀强电场中静止时，细线与竖直方向的夹角为α（α＜45°）．求：
（1）当细线与竖直方向的夹角β多大时，才能使小球在由静止释放后细线到达竖直位置时，小球的速度恰好为零？
（2）当细线与竖直方向成α角时，至少要给小球多大的初速度，才能使小球在竖直平面内做完整的圆周运动？

Answer 1

分析 （1）小球在电场中受到重力、电场力和细线的拉力而处于平衡状态．根据细线偏离的方向，分析电场力方向，确定小球的电性．
小球由较高位置释放直至最低位置，重力做正功，电场力做负功，应用动能定理可解角度关系．
（2）若要使小球能够完成圆周运动，则细绳应始终处于伸直状态，当在初位置（与竖直方向成α角时）所给冲量最小时，小球运动过程速度最小时刻，重力与电场力的合力恰好充当小球运动的向心力，可求其速度值，对应从初始位置到此位置过程应用动能定理，可求初始速度

解答 解：（1）根据平衡条件可知，小球受电场力方向与场强方向相同，则小球带正电，由平衡条件得
Eq=mgtanα     ①
则，q=$\frac{mgtanα}{E}$    ②
将小球由静止释放过程中，重力做正功，电场力做负功，动能的变化量为零，根据动能定理得
mgL（1-cosφ）-EqLsinφ=0 ③
联立②③式得
φ=2α ④
（2）（2）在细线与竖直方向成α角时，重力与电场力的合力为
F=$\frac{mg}{cosα}$⑤
在小球圆周运动的等效最高点D，如图：
重力与电场力的合力提供向心力，设此时速度为v₁，由牛顿运动定律得，
F=$\frac{{mv}_{1}^{2}}{L}$⑥
设初速度为v₀，从初始位置到速度最小位置的过程应用动能定理，
-2mgLcosα-2Eqlsinα=$\frac{1}{2}{mv}_{1}^{2}-\frac{1}{2}{mv}_{0}^{2}$
联立解得${v}_{0}=\sqrt{\frac{5gL}{cosα}}$
答：（1）当细线与竖直方向的夹角β为2α时，才能使小球在由静止释放后细线到达竖直位置时，小球的速度恰好为零
（2）当细线与竖直方向成α角时，至少要给小球$\sqrt{\frac{5gL}{cosα}}$的初速度，才能使小球在竖直平面内做完整的圆周运动

点评 本题是复合场、平衡条件牛顿运动定律与动能定理动量定理的综合应用题，涉及过程复杂，模型较多，要分解后逐个过程进行分析求解