题目内容

19．为了研究过山车的原理，某兴趣小组提出了下列设想：如图所示，取一个与水平方向夹角为θ=37°、长为L=2.0m的粗糙倾斜轨道AB，通过水平轨道BC与竖直圆轨道相连，出口为水平轨道DE，整个轨道除AB段以外都是光滑的．其AB与BC轨道以微小圆弧相接．一个小物块以初速度v0=4.0m/s从某一高处水平抛出，到A点时速度方向恰好沿AB方向，并沿倾斜轨道滑下，已知物体与倾斜轨道间的动摩擦因数μ=0.50．（g=10m/s2，sin37°=0.60，cos37°=0.80），求：
（1）小物块到达A点时速度
（2）要使小物块不离开轨道，并从轨道DE滑出，求竖直圆弧轨道的半径应该满足什么条件？
（3）为了让小物块不离开轨道，并且能够滑回到倾斜轨道AB之间，则竖直圆轨道的半径应该满足什么条件？

分析 （1）由题意可知物体平抛运动过程的末速度方向，则由运动的合成与分解可求得合速度；
（2）物体能通过最高点，则应保证重力充当向心力，由临界条件可求得最高点的速度，则由动能定理可求得圆弧半径的条件；
（3）要使物体能回到AB段中，小球应无法通过最高点，则由动能定理可求得临界半径，则可求得竖直圆轨道的半径条件．

解答 解：（1）小物块做平抛运动，经时间 t 到达A处时，令下落的高度为h，水平分速度v0，竖直速度为vy．
小物块恰好沿斜面AB方向滑下，
则tan37°=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}$
得vy=3 m/s，
所以小物块到A点的速度为 vA=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}_{y}^{2}}$=5m/s．
（2）物体落在斜面上后，受到斜面的摩擦力F f=μFN=μmgcos37°
设物块进入圆轨道到达最高点时有最小速度v1．
此时物块受到的重力恰好提供向心力，令此时的半径为 R0，
则 mg=m$\frac{{v}^{2}}{{R}_{1}}$
物块从进入A点到圆轨道最高点的过程中，根据动能定理有：
 mg（Lsin37°-2R1）-μmgcos37°•L=$\frac{1}{2}$mv2-$\frac{1}{2}$mvA2．
联立上式，解得 R1=0.66m，
要使小物块不离开轨道，并从轨道DE滑出，圆弧轨道的半径满足 
  R≤0.66m．
（3）为了让小物块不离开轨道，并且能够滑回倾斜轨道 AB，则物块上升的高度须小于或等于某个值R2，物块从进入A点到沿圆轨道上升R2，由动能定理得
   mgLsin37°-μmgcos37°•L-mgR2=0-$\frac{1}{2}$mvA2
解得 R2=1.65m
物块能够滑回倾斜轨道 AB，则竖直圆轨道的半径应该满足 R≥1.65m
答：
（1）小物块到达A点时速度是5m/s．
（2）要使小物块不离开轨道，并从轨道DE滑出，竖直圆弧轨道的半径应该满足：R≤0.66m．
（3）为了让小物块不离开轨道，并且能够滑回到倾斜轨道AB之间，则竖直圆轨道的半径应该满足 R≥1.65m．

点评 本题考查竖直面内的圆周运动的临界条件及动能定理的应用，要求学生能明确本题的物理过程，并能分段应用所学物理规律求解；同时注意对题意的把握．

练习册系列答案
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