Question

10．如图所示，长为L的平板车，质量为m₁，上表面到水平地面的高度为h，以速度v₀向右做匀速直线运动，A、B是其左右两个端点．从某时刻起对平板车施加一个水平向左的恒力F，与此同时，将一个质量为m₂的小物块轻放在平板车上的P点（小物块可视为质点，放在P点时相对于地面的速度为零），PB=$\frac{L}{4}$，经过一段时间，小物块脱离平板车落到地面．已知小物块下落过程中不会和平板车相碰，所有摩擦力均忽略不计，重力加速度为g．求：
（1）小物块从离开平板车开始至落到地面所用的时间；
（2）小物块在平板车上停留的时间．

Answer 1

分析 （1）由平抛运动的规律可明确下落时间；
（2）小物块保持静止，而木板向右减速然后再反向加速；故物体可能从A端滑下，也可能从B端滑下，由运动学公式可解得停留的时间．

解答 解：（1）由平抛运动规律可知，
小球落地时间：t₀=$\sqrt{\frac{2h}{g}}$
（2）a=$\frac{F}{{m}_{1}}$
第一种情况：当$\frac{{v}_{0}^{2}}{2a}$≥$\frac{3L}{4}$，小球由A端滑下，由牛顿第二定律可知：
F≤$\frac{2{m}_{1}{v}_{0}^{2}}{3L}$
由$\frac{3L}{4}$=v₀t-$\frac{1}{2}$at²，
可解出t=$\frac{{m}_{1}{v}_{0}}{F}$-$\frac{1}{2}$$\frac{{m}_{1}\sqrt{4{v}_{0}^{2}-6×（\frac{F}{{m}_{1}}）L}}{F}$；
（t=$\frac{{m}_{1}{v}_{0}}{F}$+$\frac{1}{2}$$\frac{{m}_{1}\sqrt{4{v}_{0}^{2}-6×（\frac{F}{{m}_{1}}）L}}{F}$舍去）
第二种情况：当$\frac{{v}_{0}^{2}}{2a}$＜$\frac{3L}{4}$，
即F＞$\frac{2{m}_{1}{v}_{0}^{2}}{3L}$，小球从B端落下
-$\frac{L}{4}$=v₀t-$\frac{1}{2}$at，
解得：t=$\frac{{m}_{1}{v}_{0}}{F}$+$\frac{{m}_{1}\sqrt{4{v}_{0}^{2}+6×（\frac{F}{{m}_{1}}）L}}{2F}$；
（t=$\frac{{m}_{1}{v}_{0}}{F}$-$\frac{{m}_{1}\sqrt{4{v}_{0}^{2}+6×（\frac{F}{{m}_{1}}）L}}{2F}$舍去）
答：（1）小物块从离开平板车开始至落到地面所用的时间为$\sqrt{\frac{2h}{g}}$
（2）小物块在平板车上停留的时间为$\frac{{m}_{1}{v}_{0}}{F}$-$\frac{1}{2}$$\frac{{m}_{1}\sqrt{4{v}_{0}^{2}-6×（\frac{F}{{m}_{1}}）L}}{F}$或$\frac{{m}_{1}{v}_{0}}{F}$+$\frac{1}{2}$$\frac{{m}_{1}\sqrt{4{v}_{0}^{2}-6×（\frac{F}{{m}_{1}}）L}}{F}$

点评 本题考查牛顿第二定律的应用，在解题中要认真分析题意，明确本题中物体一直保持静止；故只分析木板的运动即可．