Question

19．如图所示，AB与CD为两个对称斜面，其上部都足够长，下部分别与一个光滑的圆弧面的两端相切，圆弧圆心角为120°，半径R=2.0m．一个质量为2kg的物体在离弧底E高度为h=3.0m处，以初速度v₀=4m/s沿斜面运动，物体与两斜面的动摩擦因数均为μ=0.2．求：

（1）物体第一次通过最低点时，物体对圆弧轨道的压力多大？
（2）物体在两斜面上（不包括圆弧部分）一共能运动多少路程？（g=10m/s²）

Answer 1

分析 （1）物体第一次通过最低点时，根据动能定理求得在最低点的速度，再根据合力提供圆周运动向心力求得物体受到轨道的支持力，根据牛顿第三定律求得对圆弧轨道的压力；
（2）因为物体在斜面上运动，阻力始终做负功，根据动能定理求得物体运动的最终速度，由动能定理求得在两斜面上运动和路程．

解答 解：（1）从A到第一次通过最低点E的过程中，由几何关系和动能定理得：

$mgh-μmgcos60°\frac{h-（R-Rcos60°）}{sin60°}=\frac{1}{2}m{v}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$…①
在最低点，根据牛顿第二定律：${F_N}-mg=m\frac{v^2}{R}$…②
由①②式可解得：${F}_{N}=（96-\frac{8\sqrt{3}}{3}）N$
根据牛顿第三定律：物体对圆弧轨道的压力为$（96-\frac{8\sqrt{3}}{3}）N$
（2）斜面的倾角为60°，因为mgsin60°＞μmgcos60°，所以物体不会静止在斜面上，最终在BC间做往复运动．
最终做往复运动时，在B、C的速度为零，对A到C的整个过程运用动能定理得，
$mg[h-（R-Rcos{60^0}）]-μmgcos{60^0}S=0-\frac{1}{2}m{v_0}^2$
代入数据解得：S=28m
答：（1）物体第一次通过最低点时，物体对圆弧轨道的压力为$（96-\frac{8\sqrt{3}}{3}）N$；
（2）物体在两斜面上（不包括圆弧部分）一共能运动28m的路程．

点评 本题属于多过程问题，由于机械能损失，物体最终在B、C之间做往复运动，要知道摩擦生热与总路程有关．