Question

13．如图所示，若两颗人造卫星a和b均绕地球做匀速圆周运动，a、b到地心O的距离分别为r₁、r₂，线速度大小分别为v₁、v₂，角速度大小分别为ω₁、ω₂，向心加速度大小分别为a₁、a₂，周期大小分别为T₁、T₂，下列说法正确的是（　　）

• A． $\frac{{v}_{1}}{{v}_{2}}$=$\sqrt{\frac{{r}_{1}}{{r}_{2}}}$
• B． $\frac{{ω}_{1}}{{ω}_{2}}$=$\sqrt{（\frac{{r}_{2}}{{r}_{1}}）^{3}}$
• C． $\frac{{a}_{1}}{{a}_{2}}$=（$\frac{{r}_{2}}{{r}_{1}}$）³
• D． $\frac{{T}_{1}}{{T}_{2}}$=$\sqrt{（\frac{{r}_{1}}{{r}_{2}}）}$³

Answer 1

分析 人造卫星a和b均绕地球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，列式解出线速度、角速度、向心加速度、周期与轨道半径r的关系式，再进行求解．

解答 解：根据万有引力提供向心力得：G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{r}$=mω²r=ma=m$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$r
解得：v=$\sqrt{\frac{GM}{r}}$，ω=$\sqrt{\frac{GM}{{r}^{3}}}$，a=$\frac{GM}{{r}^{2}}$，T=2π$\sqrt{\frac{{r}^{3}}{GM}}$
据题，a、b到地心O的距离分别为r₁、r₂，可得：$\frac{{v}_{1}}{{v}_{2}}$=$\sqrt{\frac{{r}_{2}}{{r}_{1}}}$，$\frac{{ω}_{1}}{{ω}_{2}}$=$\sqrt{（\frac{{r}_{2}}{{r}_{1}}）^{3}}$，$\frac{{a}_{1}}{{a}_{2}}$=$（\frac{{r}_{2}}{{r}_{1}}）^{2}$，$\frac{{T}_{1}}{{T}_{2}}$=$\sqrt{（\frac{{r}_{1}}{{r}_{2}}）}$³
故选：BD

点评 本题关键是要掌握万有引力提供向心力这个关系，能够根据题意选择恰当的向心力的表达式．