Question

如图，一水平圆盘绕过圆心的竖直轴转动，圆盘离地面的高度h=1.2m．圆盘边缘有一质量m=1.0kg的小滑块，当圆盘转动的角速度达到某一数值时，滑块从圆盘边缘滑落，经光滑的过渡圆管进入轨道ABC．AB段斜面倾角为53°，滑块与圆盘及斜面间的动摩擦因数为μ=0.5，BC段为竖直光滑圆形轨道，半径r=0.1m，不计滑块的过渡圆管处和B点的机械能损失，最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力，取g=10m/s²，sin53°=0.8，cos53°=0.6．
（1）若圆盘半径R=0.2m，当圆盘的角速度多大时，滑块从圆边缘滑落？
（2）若取圆盘所在平面为零势能面，求滑块到达B点时的机械能？
（3）如圆盘离地面的高度h可以调节，要求滑块能通过圆形轨道最高点，且在该最高点与轨道间的压力不能超过5mg，求高度h的取值范围？

Answer 1

分析：（1）滑块做匀速圆周运动，指向圆心的静摩擦力力提供向心力，静摩擦力随着外力的增大而增大，当滑块即将从圆盘上滑落时，静摩擦力达到最大值，根据最大静摩擦力等于向心力列式求解，可以求出滑块即将滑落的临界角速度；
（2）先求出A点的速度，再根据机械能的表达式求解出B点的速度，进而求出在B点时的机械能；
（3）滑块能通过圆形轨道最高点的临界条件是重力提供向心力，根据向心力公式及动能定理联立方程即可求解．

解答：解：（1）因为摩擦力提供向心力，则μmg=mω²R
解得ω=

μg R

=

0.5×10m/s2 0.2m

=5rad/s
故当圆盘的角速度为5rad/s时，滑块从圆边缘滑落．
（2）设小滑块初速度为v₀，小滑块在B点的速度为v，根据动能定理，
mgh-μmglcos53°=

1

2

mv2-

1

2

m

v

2 0

而

m v 2 0

R

=μmg
解得

1

2

mv2=mgh-μmglcos53°+

1

2

m

v

2 0

=12J-4.5J+0.5J=8J
故滑块在B点的机械能为E=-mgh+

1

2

mv2=-12J+8J=-4J
（3）①当物体恰好经过C点时，有mg=

m v 2 c

r

，则Ec=

1

2

m

v

2 c

=

mgr

2

=0.5J
根据动能定理得：mg(h-2r)-μmgcos53°

h

sin53°

=Ec-E0
解得h=0.32m
当物体经过C点时，轨道对物体压力为5mg，有
5mg+mg=

mv2

r

，Ec=

1

2

m

v

2 c

=

6mgr

2

=3J
根据动能定理得：mg(h-2r)-μmgcos53°

h

sin53°

=Ec-E0
解得h=0.72m
又物体在最高点与轨道间的压力不能超过5mg，故高度取值范围0.32m≤h≤0.72m．
答：（1）若圆盘半径R=0.2m，当圆盘的角速度为5rad/s时，滑块从圆边缘滑落；
（2）若取圆盘所在平面为零势能面，滑块到达B点时的机械能为-4J；
（3）如圆盘离地面的高度h可以调节，要求滑块能通过圆形轨道最高点，且在该最高点与轨道间的压力不能超过5mg，高度h的取值范围为0.32m≤h≤0.72m．

点评：本题关键把物体的各个运动过程的受力情况和运动情况分析清楚，然后结合动能定理、牛顿第二定律和运动学公式求解．