Question

1．如图所示，上表面水平的平板车B右端固定一轻质弹簧，平板车左端与弹簧的自由端相距L，开始时静止在光滑水平面上，在平板车最左端静止放置一小物块A，一颗质量为m₀的子弹以水平初速度v₀迅速射穿A后，速度变为$\frac{{v}_{0}}{2}$，子弹射穿前后物块A的质量不变．此后，物块A向右运动压缩弹簧后被弹回并停在小车最左端（弹簧始终在弹性限度内），已知平板车B质量为10m₀，物块A质量为2m₀．A、B之间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g．求：
（1）子弹射穿后，物块A的速度和它的最终速度．
（2）弹簧的最大压缩量和相应的弹性势能E_p．

Answer 1

分析 （1）子弹射穿木块的过程中，由于时间极短，系统的动量守恒，据此列式求出子弹射穿后物块A的速度．物体A最终停在小车左端，速度与小车相同，由A与小车的动量守恒求解最终速度．
（2）子弹射穿物块后到弹簧压缩到最短时，A与小车的速度相等，由能量守恒求出弹簧的最大压缩量和相应的弹性势能E_p．

解答 解：（1）子弹射穿木块的过程中，由于时间极短，取向右为正方向，由系统的动量守恒得
 m₀v₀=2m₀v₁+m₀$\frac{{v}_{0}}{2}$
解得子弹射穿后，物块A的速度  v₁=$\frac{{v}_{0}}{4}$，方向向右     
物块A停在小车左端时，A、B的速度相等均为v₂，则
  2m₀v₁=（10m₀+2m₀）v₂
解得v₂=$\frac{{v}_{0}}{24}$，方向向右．  
（2）子弹射穿物块后到弹簧压缩到最短，设摩擦生热为Q，根据能量守恒定律得
  $\frac{1}{2}$×2m₀v${\;}_{1}^{2}$=Q+$\frac{1}{2}$（2m₀+10m₀）v${\;}_{2}^{2}$+E_p
子弹射穿物块后到最终物块和小车以相同的速度匀速运动
  $\frac{1}{2}$×2m₀v${\;}_{1}^{2}$=2Q+$\frac{1}{2}$（2m₀+10m₀）v${\;}_{2}^{2}$   
联立以上两式解得 Q=$\frac{5}{192}$m₀v${\;}_{0}^{2}$，E_p=$\frac{5}{192}$m₀v${\;}_{0}^{2}$
根据功能关系有 Q=2μm₀g（L+x）    
所以最大压缩量 x=$\frac{5}{384μg}$v${\;}_{0}^{2}$-L．
答：
（1）子弹射穿后，物块A的速度为$\frac{{v}_{0}}{4}$，方向向右，它的最终速度为$\frac{{v}_{0}}{24}$，方向向右．
（2）弹簧的最大压缩量为$\frac{5}{384μg}$v${\;}_{0}^{2}$-L，相应的弹性势能E_p为$\frac{5}{192}$m₀v${\;}_{0}^{2}$．

点评 本题综合考查了动量守恒定律和能量守恒定律，运用动量守恒定律解题时，关键要合理地选择研究的系统和过程，知道A与车的速度相等时弹簧压缩最短．