Question

11．在水平圆盘上有一过圆心的光滑水平槽，槽内有两根原长、劲度系数均相同的橡皮绳拉住一质量为m的小球，一条橡皮绳拴在O点，另一条拴在O′点，其中O点为圆盘的中心，O′点为圆盘的边缘．橡皮绳的劲度系数为k，原长为圆盘半径R的$\frac{1}{3}$．现使圆盘角速度由零缓慢增大，求圆盘的角速度ω₁=$\frac{1}{2}$$\sqrt{\frac{k}{m}}$与ω₂=$\sqrt{\frac{4k}{7m}}$时，小球所对应的线速度之比v₁：v₂．

Answer 1

分析 首先分析圆盘的角速度为ω₁=$\frac{1}{2}$$\sqrt{\frac{k}{m}}$与ω₂=$\sqrt{\frac{4k}{7m}}$时，两橡皮绳是否都有拉力．根据牛顿第二定律求出外面一根橡皮绳刚好松弛时圆盘的临界角速度ω₀，再判断两橡皮绳的状态，再由牛顿第二定律求解线速度．

解答 解：当转速为ω₀时，外侧橡皮绳恰好无引力
则有：$k（\frac{2}{3}R-\frac{R}{2}）=m\frac{2}{3}Rω_0^2$
可得：${ω_0}=\sqrt{\frac{k}{2m}}$
当$ω={ω_1}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{k}{m}}＜{ω_0}$，故两绳均有拉力
设此时半径为r₁，则有
$k（{r_1}-\frac{R}{3}）-k（R-{r_1}-\frac{R}{3}）=m{r_1}ω_1^2$
得${r}_{1}=\frac{4}{7}R$
当$ω={ω}_{2}=\sqrt{\frac{4k}{7m}}＞{ω}_{0}$，故右侧绳有拉力
设此时半径为r₂，则有：
$k（{r_2}-\frac{R}{3}）=m{r_2}ω_2^2$
得${r_2}=\frac{7}{9}R$
故$\frac{v_1}{v_2}=\frac{{{r_1}{ω_1}}}{{{r_2}{ω_2}}}$
得：$\frac{v_1}{v_2}=\frac{{9\sqrt{7}}}{49}$
答：圆盘的角速度ω₁=$\frac{1}{2}$$\sqrt{\frac{k}{m}}$与ω₂=$\sqrt{\frac{4k}{7m}}$时，小球所对应的线速度之比v₁：v₂为9$\sqrt{7}$：49．

点评 本题是隐含的临界问题，要善于分析物体的临界状态，挖掘隐含的条件．中等难度．