Question

7．如图所示，质量为m=lkg的小物块由静止轻轻放在水平匀速运动的传送带上，从A点随传送带运动到水平部分的最右端B点，经半圆轨道C点沿圆弧切线进入竖直光滑的半圆轨道，恰能做圆周运动．C点在B点的正上方，D点为轨道的最低点．小物块离开D点后，做平抛运动，恰好垂直于倾斜挡板打在挡板跟水平面相交的E点．已知半圆轨道的半径R=1.6m，D点距水平面的高度h=2.25m，取g=10m/s²，试求：
（1）摩擦力对物块做的功；
（2）小物块经过D点时对轨道压力的大小；
（3）倾斜挡板与水平面间的夹角θ．

Answer 1

分析 本题（1）的关键是明确小物块经过C点时恰好能做圆周运动的条件是重力等于向心力，然后再由动能定理即可求解；
（2）题的关键是根据动能定理或机械能守恒定律求出小物块到达D点时的速度，然后再根据牛顿第二定律和牛顿第三定律即可求解；
（3）题的关键是根据平抛运动规律并结合几何知识即可求出所求．

解答 解：（1）设小物块经过C点时的速度大小v₁，因为经过C时恰好能完成圆周运动，由牛顿第二定律可得：
mg=$m\frac{{{v}_{1}}^{2}}{R}$，
代入数据解得：v₁=4m/s                                           
小物块由A到B过程中，设摩擦力对小物块做的功为W，由动能定理得：
W=$\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}$，
代入数据解得：W=8J
故摩擦力对物块做的功为8J．                              
（2）设小物块经过D点时的速度为v₂，对由C点到D点的过程，由动能定理的：
mg.2R=$\frac{1}{2}m{{v}_{2}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}$，
小物块经过D点时，设轨道对它的支持力大小为F_N，由牛顿第二定律得：
F_N-mg=$m\frac{{{v}_{2}}^{2}}{R}$，
联立解得F_N=60N，${v}_{2}=4\sqrt{5}$m/s                                  
由牛顿第三定律可知，小物块对轨道的压力大小为：
F_N=F_N′=60N．
故小物块经过D点时对轨道的压力大小为60N．                   
（3）小物块离开D点做平抛运动，设经时间t打在E点，
由h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$得：t=$\frac{3\sqrt{5}}{10}$s                                       
设小物块打在E点时速度的水平、竖直分量分别为v_x、v_y，速度跟竖直方向的夹角为α，则：
v_x=v₂，v_y=gt     
又tanα=$\frac{{v}_{x}}{{v}_{y}}=\frac{4}{3}$，
联立解得α=53°
再由几何关系可得θ=α=53°，
故倾斜挡板与水平面的夹角为θ为53°．
答：（1）摩擦力对物块做的功为8J；
（2）小物块经过D点时对轨道压力的大小为60N；
（3）倾斜挡板与水平面间的夹角θ为53°．

点评 对与圆周运动、平抛运动综合的题目，要注意物体在竖直面内完成圆周运动的临界条件（注意“绳”、“杆”、“轨道”的区别），然后根据动能定理以及平抛规律联立即可求解．