Question

如图所示，真空中水平放置的两个相同极板Y和Y'长为L，相距d，足够大的竖直屏与两板右侧相距b．在两板间加上可调偏转电压U，一束质量为m、带电量为+q的粒子（不计重力）从两板左侧中点A以初速度v₀沿水平方向射入电场且能穿出．
（1）求两板间所加偏转电压U的范围；
（2）求粒子可能到达屏上区域的长度．

Answer 1

分析：（1）粒子垂直射入电场中做类平抛运动，水平方向做匀速直线运动，竖直方向做初速度为零的匀加速直线运动．当粒子恰好从极板右边缘飞出时两板间所加偏转电压U达到最大，由牛顿第二定律和运动学公式求出最大电压．粒子可能从上极板边缘飞出，也可能从下极板边缘飞出，可得到电压变化的范围．
（2）粒子飞出电场后做匀速直线运动，根据推论可知，粒子速度的反向延长线交水平位移的中点，由三角函数知识可求出粒子可能到达屏上区域的长度．

解答：解：（1）设粒子在运动过程中的加速度大小为a，离开偏转电场时偏转距离为y，沿电场方向的速度为v_y，偏转角为θ，其反向延长线通过O点，O点与板右端的水平距离为x，则有
 竖直方向：y=

1

2

at2…①
 水平方向：L=v₀t…②
 加速度为a=

Eq

m

…③
      E=

U

d

…④
由①②③④式解得：y=

qUL2

2dm v 2 0

当y=

d

2

时，U=

md2 v 2 0

qL2

则两板间所加电压的范围为-

md2 v 2 0

qL2

≤U≤

md2 v 2 0

qL2

（2）当y=

d

2

时，粒子在屏上侧向偏移的距离最大，设为y₀，则
  y₀=(

L

2

+b)tanθ
而tanθ=

d 2

L 2

=

d

L

解得 y₀=

d(L+2b)

2L

则粒子可能到达屏上区域的长度为2

d(L+2b)

2L

．
答：（1）两板间所加偏转电压U的范围为-

md2 v 2 0

qL2

≤U≤

md2 v 2 0

qL2

；
（2）粒子可能到达屏上区域的长度为2

d(L+2b)

2L

．

点评：本题是类平抛运动中的临界问题，一方面要熟练掌握运动的分解法研究类平抛运动，另一方面要把握临界条件．对于粒子飞出电场后偏转的距离，常用有两种方法：三角函数法和三角相似法．