Question

12．一质量m=0.2kg的小球从距水平地面H=10m的高度无初速度释放，经t=2s的时间到达地面，后经地面作用竖直反弹．每次与地面碰撞时间忽略不计．碰撞后速度大小不变；小球在空中所受的空气阻力大小f恒定．取g=10m/s²．求：
（1）在空中所受的空气阻力大小f；
（2）第一次碰撞后上升的最大高度；
（3）第99次碰撞后上升的最大高度．

Answer 1

分析 （1）由匀变速直线运动的位移公式求出小球下落的加速度，由牛顿第二定律求出空气阻力．
（2）求出小球第一次反弹后的速度，小球向上做匀减速直线运动，由牛顿第二定律求出加速度，然后求出反弹的高度．
（3）应用匀变速直线运动速度位移公式求出小球上升的高度．

解答 解：（1）小球下落时做匀加速直线运动，
下落的加速度：a₁=$\frac{2H}{{t}^{2}}$=5m/s²，
对小球，由牛顿第二定律得：
mg-f=ma，解得：f=1N；
（2）小球落地时的速度：v=a₁t=10m/s，
由题意可知，小球反弹后向上运动的初速度为10m/s，
小球向上运动过程，加速度：a₂=$\frac{mg+f}{m}$=15m/s²，
小球向上做匀减速直线运动，上升的最大高度：H₁=$\frac{{v}^{2}}{2{a}_{2}}$=$\frac{10}{3}$m；
（3）第一次碰撞后，下降过程的末速度：v₂²=2a₁H₁，
第二次碰撞后上升过程：v₂²=2a₂H₂，解得：H₂=$\frac{{a}_{1}}{{a}_{2}}$H₁=（$\frac{{a}_{1}}{{a}_{2}}$）²H，
…
第99次碰撞后，上升过程：H₉₉=（$\frac{{a}_{1}}{{a}_{2}}$）⁹⁹H=$\frac{10}{{3}^{99}}$m；
答：（1）在空中所受的空气阻力大小f为1N；
（2）第一次碰撞后上升的最大高度为$\frac{10}{3}$m；
（3）第99次碰撞后上升的最大高度为$\frac{10}{{3}^{99}}$m．

点评 本题考查了求空气阻力、小球上升的最大高度，分析清楚小球的运动过程，应用匀变速直线运动的运动规律与牛顿第二定律可以解题，解题时注意数学归纳法的应用．