Question

如图甲所示，竖直平面内的光滑轨道由倾角θ=37⁰的斜轨道、平轨道和半圆弧轨道BC组成．将一量m=0.1kg的小球，从斜轨道上高H处由静止释放，用压力传感器测出小球经过顶点C时对轨道的压力F大小．F随H的变化关系如图乙所示．求（取g=10m/s²，sin37°，cos37°=0.8）
（1）由多高处释放小球，其恰能通过顶点C；
（2）半圆轨道的半径；
（3）小球要由多高处释放，由C点水平射出后，恰能垂直落在斜面上鱼圆心O等高处．

Answer 1

分析：（1）小球其恰能通过顶点C时，对轨道的压力为零，重力提供向心力，根据图象即可求解；
（2）小球从A到C运动的过程中，只有重力做功，机械能守恒，根据机械能守恒定律和牛顿第二定律求出小球对轨道C点的压力与H的关系式，然后结合F-H图线求出圆轨道的半径；
（3）小球从C点抛出后做平抛运动，根据平抛运动的特点及几何关系求出C点的速度，再根据机械能守恒定律即可求解；

解答：解：（1）小球其恰能通过顶点C时，对轨道的压力为零，此时H=0.5m；
（2）小球过C点时满足
F+mg=m

v2

r

从A到C运动的过程中，只有重力做功，机械能守恒，则有  
mg（H-2r）=

1

2

mυ_C²      
联立解得   F=

2mg

r

H-5mg         
由题图可知 H₁=0.5 m时F₁=0；H₂=1.0 m时F₂=5 N      
可解得        r=0.2 m        
（3）由C点水平射出后做平抛运动，恰能垂直落在斜面上鱼圆心O等高处，则
r=

1

2

gt2
解得：t=0.2s
所以到达斜面时竖直方向的速度v_y=gt=2m/s
根据几何关系得：tan37°=

vC

vy

解得：v_C=1.5m/s
从A到C运动的过程中，只有重力做功，机械能守恒，则有  
mg（H-2r）=

1

2

mυ_C²      
解得：H=0.5125m
答：（1）由0.5m高处释放小球，其恰能通过顶点C；
（2）半圆轨道的半径为0.2 m；
（3）小球要由0.5125m高处释放，由C点水平射出后，恰能垂直落在斜面上鱼圆心O等高处．

点评：本题是牛顿运动定律与机械能守恒定律的综合题，解决本题的关键根据该规律得出压力F与H的关系式．