Question

4．如图所示，竖直平面内有一光滑绝缘半圆轨道，处于方向水平且与轨道平面平行的匀强电场中，轨道两端点A、C高度相同，与圆心O在同一水平线上，轨道的半径为R₀，一个质量为m的带正电的小球从槽右端的A处无初速地沿轨道下滑，滑到最低点B时对槽底的压力为2mg，则在小球的滑动过程中，有（　　）

• A． 小球到达B点时的速度大小为$\sqrt{2gR}$
• B． 小球到达B点时的速度大小为$\sqrt{gR}$
• C． 小球在滑动过程中的最大速度为$\sqrt{（\sqrt{5}-1）gR}$
• D． 小球在滑动过程中的最大速度为$\sqrt{2gR}$

Answer 1

分析 小球由于受到电场力做功，故机械能不守恒；故应用动能定理求解小球在最滑动过程中的最大速度．

解答 解：AB、小球在B点时，半径方向上的合力为向心力，由牛顿第二定律有：
F_N-mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
由于F_N=2mg，故
v²=gR，
小球到达达B点时的速度为：
v=$\sqrt{gR}$．故A错误，B正确；
CD、从A到B，设电场力做功W_E，由动能定理，得：
W_E+mgR=$\frac{1}{2}$mv²
得：W_E=$\frac{1}{2}$mv²-mgR=-$\frac{1}{2}$mgR
由于电场力做负功，故带电小球受电场力方向向右，大小为：
F=|$\frac{{W}_{E}}{R}$|=$\frac{1}{2}$mg．场强方向向右．
从A到B之间一定有位置D时，小球运动的切线方向瞬时合力为零处，也是小球速度最大处．
设OD连线与竖直方向夹角θ，Fcosθ=Gsinθ
又由动能定理得：$\frac{1}{2}$m${v}_{m}^{2}$=mgRcosθ-FR（1-sinθ）
联立解得，最大速度为：v_m=$\sqrt{（\sqrt{5}-1）gR}$．故C正确，D错误．
故选：BC．

点评 本题要注意明确机械能守恒的条件为只有重力做功，若有其他力做功的时候，应使用动能定理求解．关键要知道速度最大的条件：切向合力为零．