Question

如图所示，O为半径等于R的原来不带电的导体球的球心，O₁、O₂、O₃为位于球内的三个半径皆为r的球形空腔的球心，它们与O共面，已知．在OO₁、OO₂的连线上距O₁、O₂为的P₁、P₂点处分别放置带电量为q₁和q₂的线度很小的导体（视为点电荷），在O₃处放置一带电量为q₃的点电荷，设法使q₁、q₂和q₃固定不动．在导体球外的P点放一个电量为Q的点电荷，P点与O₁、O₂、O₃共面，位于的延长线上，到O的距离．

1．求q₃的电势能．????

2．将带有电量q₁、q₂的小导体释放，当重新达到静电平衡时，各表面上的电荷分布有何变化？ 此时q₃的电势能为多少？????

Answer 1

1．由静电感应知空腔1、2及3的表面分别出现??电量为、和的面电荷，由电荷守恒定律可知，在导体球的外表面呈现出电量??．由静电屏蔽可知，点电荷q₁及感应电荷（）在空腔外产生的电场为零；点电荷q₂及感应电荷（??）在空腔外产生的电场为零；点电荷q₃及感应电荷（??）在空腔外产生的电场为零．因此，在导体球外没有电荷时，球表面的电量作球对称分布．

当球外P点处放置电荷Q后，由于静电感应，球面上的总电量仍为，但这些电荷在球面上不再均匀分布，由球外的Q和重新分布在球面上的电荷在导体球内各点产生的合场强为零．

O₃处的电势由位于P点处的Q、导体球表面的电荷及空腔3表面的感应电荷（）共同产生．无论在球面上如何分布，球面上的面电荷到O点的距离都是R，因而在O点产生的电势为， Q在O点产生的电势为，这两部分电荷在O₃点产生的电势与它们在O点产生的电势相等，即有

     （1）

因q₃放在空腔3的中心处，其感应电荷在空腔3壁上均匀分布．这些电荷在O₃点产生的电势为

                                         (2)

根据电势叠加定理，O₃点的电势为

               (3)

故q₃的电势能

                 (4)

2． 由于静电屏蔽，空腔1外所有电荷在空腔1内产生的合电场为零，空腔1内的电荷q₁仅受到腔内壁感应电荷的静电力作用，因q₁不在空腔1的中心O₁点，所以感应电荷在空腔表面分布不均匀，与q₁相距较近的区域电荷面密度较大，对q₁的吸力较大，在空腔表面感应电荷的静电力作用下，q₁最后到达空腔1表面，与感应电荷中和．同理，空腔2中q₂也将在空腔表面感应电荷的静电力作用下到达空腔2的表面与感应电荷中和．达到平衡后，腔1、2表面上无电荷分布，腔3表面和导体球外表面的电荷分布没有变化．O₃的电势仍由球外的电荷Q和导体球外表面的电量及空腔3内壁的电荷共同产生，故O₃处的电势U与q₃的电势能W仍如(3)式与(4)式所示．