Question

9．如图所示，一光滑的曲面与一水平传送带左端平滑连接，传送带以速率v₀=2m/s逆时针匀速转动，一质量m=2kg的滑块从曲面上高h₁=1.65m位置由静止开始下滑，滑块滑到传送带右端后飞出，下落高度h₂=0.8m着地，已知滑块落地点相对于传送带右端的水平位移L=1.2m，（g=10m/s²）．
（1）求滑块落地时的速度大小；
（2）若滑块从曲面上离传送带高度h₃=0.8m处开始下滑，滑块滑上传送带后立即取走曲面，求滑块落地时的速度大小；
（3）在（2）情形下，求滑块自释放至落地全过程中滑块与传送带摩擦所产生的热量．

Answer 1

分析 （1）滑块从传送带飞出后做平抛运动，根据平抛运动基本公式列式求出离开传送带的速度，再对飞出后的过程，根据机械能守恒定律列式求解落地时速度；
（2）先根据功能关系求出滑块由h₁=1.65m处由静止开始下滑到传送带，在滑到传送带右端过程中，摩擦力对滑块做的功，在比较mgh₃与W_f关系，从而判断滑块在传送带上的运动情况，再根据机械能守恒定律列式求解；
（3）先求出滑块由h₃=0.8m处静止开始下滑到传送带，在传送带上滑到速度为零的过程中滑块与传送带摩擦所产生的热量，再求出滑块后来又向传送带左端运动的过程中，滑块加速至v₀过程中滑块与传送带摩擦所产生的热量，两者之和即为总热量．

解答 解：（1）设滑块滑至传送带的右端速度为v₁，滑块自传送带右端飞出至落地时间为t，则
L=v₁t①，
${h}_{2}=\frac{1}{2}g{t}^{2}$②
设滑块落地时的速度为v，根据机械能守恒定律得：
$\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}+mg{h}_{2}=\frac{1}{2}m{v}^{2}$③
由①②③解得：v₁=3m/s，v=5m/s
（2）设滑块由h₁=1.65m处由静止开始下滑到传送带，在滑到传送带右端过程中，摩擦力对滑块做功大小为W_f，
由功能关系得：$mg{h}_{1}=\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}+{W}_{f}$，
解得：W_f=24J
由于mgh₃＜W_f，则滑块由h₃=0.8m处开始下滑到传送带，在滑到传送带右端前滑块的速度就应减为零，然后滑块要向左运动，
设滑块由h₃=0.8m处静止开始下滑到传送带，在到达传送带左端的速度为v₀′，则
$mg{h}_{3}=\frac{1}{2}m{v}_{0}{′}^{2}$
解得：v₀′=4m/s
因为v₀＜v₀′，故滑块向左运动的过程中：先加速至于传送带速度相同，后匀速运动至传送带左端作平抛运动，设滑块从传送带左端抛出落地时的速度大小为v₂，
根据机械能守恒定律得：$\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}+mg{h}_{2}=\frac{1}{2}m{{v}_{2}}^{2}$，
解得：v₂=4m/s，
（3）设滑块与传送带间的动摩擦因数为μ，滑块由h₃=0.8m处静止开始下滑到传送带，在传送带上滑到速度为零的过程中，滑块运动的时间为t₁，滑块与传送带摩擦所产生的热量为Q₁，则有：
${Q}_{1}=μmg（\frac{{v}_{0}′}{2}{t}_{1}+{v}_{0}{t}_{1}）$，④
又对滑块，由动能定理得：$-μmg\frac{{v}_{0}′}{2}{t}_{1}=0-\frac{1}{2}m{v}_{0}{′}^{2}$，⑤
设滑块后来又向传送带左端运动的过程中，滑块加速至v₀的时间为t₂，滑块与传送带摩擦所产生的热量为Q₂，则${Q}_{2}=μmg（{v}_{0}{t}_{2}-\frac{{v}_{0}}{2}{t}_{2}）$，⑥
对滑块由动能定理得：$μmg\frac{{v}_{0}}{2}{t}_{2}=\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}-0$⑦
则滑块自释放至落地全过程中滑块与传送带摩擦所产生的热量Q=Q₁+Q₂⑧
解④⑤⑥⑦⑧得Q=36J
答：（1）滑块落地时的速度大小为5m/s；
（2）若滑块从曲面上离传送带高度h₃=0.8m处开始下滑，滑块滑上传送带后立即取走曲面，滑块落地时的速度大小为4m/s；
（3）在（2）情形下，滑块自释放至落地全过程中滑块与传送带摩擦所产生的热量为36J．

点评 本题是平抛运动的基本规律、机械能守恒定律和动能定理应用相结合的题型，其中还涉及到物体与传送带的相对运动，要求同学们能正确分析物体的受力情况和运动情况，过程较为复杂，难度较大，属于难题．