Question

5．如图所示，半径可变的四分之一光滑圆弧轨道置于竖直平面内，轨道的末端B处的切线水平．现将一小物体从轨道顶端A处由静止释放，小物体刚到达B点时的加速度为a，对B点的压力为N，小物体离开B点后的水平位移为x，落地时的速率为v，若保持圆心O的位置不变，改变圆弧轨道的半径R（不超过圆心离地的高度），不计空气阻力，下列图象正确的是（　　）

• A．
• B．
• C．
• D．

Answer 1

分析 根据机械能守恒求得在B点的速度，即可由向心加速度求得a，由牛顿第二定律求得支持力，进而由牛顿第三定律求得N；然后根据平抛运动的位移和速度公式即可求得x和v．

解答 解：A、物体在光滑圆弧轨道上运动，只受重力、支持力作用，只有重力做功，故机械能守恒，故有：$mgR=\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}$；
那么，小物体刚到达B点时，加速度为向心加速度，即$a=\frac{{{v}_{B}}^{2}}{R}=2g$，故a为恒值，与R无关；故A正确；
B、对物体在B点时应用牛顿第二定律可得：${F}_{N}-mg=\frac{m{{v}_{B}}^{2}}{R}$，所以，F_N=3mg；再应用牛顿第三定律可得：对B点的压力N=F_N=3mg，故N为恒值，与R无关；故B错误；
C、设圆心离地高度为H，那么，物体离开B后做平抛运动，由平抛运动的位移公式可得：$H-R=\frac{1}{2}g{t}^{2}$，x=v_Bt；
故${x}^{2}={{v}_{B}}^{2}{t}^{2}=2gR×\frac{2（H-R）}{g}=4R（H-R）$，故x²应为开口向下的抛物线，故C错误；
D、由C可知：平抛运动的运动时间$t=\sqrt{\frac{2（H-R）}{g}}$，那么，落地时速度的竖直分量为${v}_{y}=gt=\sqrt{2g（H-R）}$，所以，落地时速度$v=\sqrt{{{v}_{B}}^{2}+{{v}_{y}}^{2}}=\sqrt{2gR+2g（H-R）}=\sqrt{2gH}$，故v为恒值，与R无关；故D正确；
故选：AD．

点评 经典力学问题一般先对物体进行受力分析，求得合外力及运动过程做功情况，然后根据牛顿定律、动能定理及几何关系求解．