Question

10．在竖直平面内，有正方形导线框ABCD和abcd的边长均为l、电阻均为R，质量分别为2m和m，它们用一根细线连接跨在两个光滑定滑轮的两边，在两导线框之间有一有界匀强磁场，宽度为2l、磁感应强度大小为B、方向垂直竖直面向里．开始时ABCD的下边与匀强磁场的上边界重合，abcd的上边到匀强磁场的下边界的距离为l．现将系统由静止释放，当ABCD刚全部进入磁场时，系统开始做匀速运动，不计摩擦和空气阻力，求：
（1）系统匀速运动的速度大小；
（2）两线框从开始运动至等高的过程中所产生的总焦耳热；
（3）线框abcd通过磁场的时间．

Answer 1

分析 （1）当ABCD刚全部进入磁场时，系统开始做匀速运动，分别对两线框列平衡方程，可得abcd框安培力大小，继而求得感应电流大小，根据欧姆定律和法拉第电磁感应定律可得系统匀速运动的速度大小
（2）当左、右两线框分别向上、向下运动2l的距离时，两线框等高，根据能量守恒得，系统机械能的减少等于产生的总焦耳热
（3）由题意可知，线框abcd通过磁场时始终以速度v匀速运动，由运动距离及速度大小可得时间

解答 解：（1）如图所示，设两线框刚匀速运动的速度为v，此时轻绳上的张力为T，则对ABCD，有
T=2mg    
对abcd，有T=mg+BIl    ①
I=$\frac{E}{R}$
E=Blv                   ②
则v=$\frac{mgR}{{B}^{2}{l}^{2}}$                ③
（2）设两线框从开始运动至等高的过程中所产生的焦耳热为Q，当左、右两线框分别向上、向下运动2l的距离时，
两线框等高，对这一过程，由能量守恒定律，得
4mgl=2mgl+$\frac{1}{2}$×3mv²+Q    ④
联立③④解得Q=2mgl-$\frac{3{m}^{3}{g}^{2}{R}^{2}}{2{B}^{4}{l}^{4}}$．
（3）线框abcd通过磁场时以速度v匀速运动，设线框abcd通过磁场的时间为t，
则t=$\frac{3l}{v}$     ⑤
联立③⑤解得t=$\frac{3{B}^{2}{l}^{3}}{mgR}$．
答：（1）系统匀速运动的速度大小为$\frac{mgR}{{B}^{2}{l}^{2}}$；
（2）两线框从开始运动至等高的过程中所产生的总焦耳热为2mgl-$\frac{3{m}^{3}{g}^{2}{R}^{2}}{2{B}^{4}{l}^{4}}$．
（3）线框abcd通过磁场的时间为$\frac{3{B}^{2}{l}^{3}}{mgR}$．

点评 本题是电磁感应中的力学问题，安培力的计算和分析能量如何转化是解题关键，要加强训练，熟练掌握法拉第定律、欧姆定律、安培力等等基础知识，提高解题能力．