题目内容
10．
质量为m的圆环A套在质量也为m的匀质杆B的上端，如右图所示，杆B呈竖直状态，下端离地高度为H时静止起释放，并且开始计时．设杆B与圆环A相对滑动时的摩擦力为kmg（k＞1），且杆B在下落撞击地面竖直向上反弹的过程中无能量损失．试求：（1）若杆足够长，杆第一次落地反弹后到与圆环再次相对静止所用的时间；
（2）若杆足够长，杆下端第二次落地所用时间；
（3）若杆下端第二次落地时圆环A还在杆上，杆的最小长度．
分析 （1）环与杆做自由落体运动，由自由落体运动的速度位移公式可以求出落地速度和落地的时间；
根据牛顿第二定律求出木棒弹起竖直上升过程中木棒和环的加速度，由运动学的公式即可求出杆第一次落地反弹后到与圆环再次相对静止所用的时间；
（2）环在木棒上升及下落的全过程中一直处于加速运动状态，所以木棒从向上弹起到再次着地的过程中，棒与环的加速度均保持不变，应用匀变速直线运动的速度公式求出运动时间．总时间为三段运动时间的和
（3）匀变速直线运动的运动学公式求出这段时间内环运动的位移即可棒的最小长度．
解答 解：（1）杆做自由落体运动，由速度位移公式得，落地速度：v0=$\sqrt{2gH}$；
杆弹起竖直上升过程中，根据牛顿第二定律，
对杆：f+mg=ma1，解得：a1=$\frac{mg+f}{m}$=$\frac{mg+kmg}{m}$=（k+1）g，方向：竖直向下，
对环：mg-f=ma2，解得：a2=$\frac{f-mg}{m}$=$\frac{kmg-mg}{m}$=（k-1）g，方向竖直向上，
选取向下为正方向，当它们的速度相等时：
-v0+a1t1=v0-a2t1
联立得：t1=$\frac{\sqrt{2gH}}{kg}$
（2）此时杆下端离地高为HB=v0t1-$\frac{1}{2}$a1t12，
共同速度为vAB=v0-a2t1=$\frac{\sqrt{2gH}}{k}$，
此后，由于环与杆之间的滑动摩擦力要大于环的重力，所以环与杆将保持静止，一起向下运动，则：
HB=vABt2+$\frac{1}{2}$gt22，
联立得：t2=（$\sqrt{\frac{1}{k}}+\frac{1}{k}$）$\sqrt{\frac{2H}{g}}$，
环与杆开始时做自由落体运动的时间：${t}_{3}=\sqrt{\frac{2H}{g}}$
总时间：t=t1+t2+t3
联立得：t=（1+$\sqrt{\frac{1}{k}}$）$\sqrt{\frac{2H}{g}}$，
（3）杆的最小长度就是环相对杆滑动的最大距离：
L=${H}_{B}+（{v}_{0}{t}_{1}-\frac{1}{2}{a}_{2}{t}_{1}^{2}）$
联立得：L=$\frac{2H}{k}$
答：（1）若杆足够长，杆第一次落地反弹后到与圆环再次相对静止所用的时间是$\frac{\sqrt{2gH}}{kg}$；
（2）若杆足够长，杆下端第二次落地所用时间是（1+$\sqrt{\frac{1}{k}}$）$\sqrt{\frac{2H}{g}}$；
（3）若杆下端第二次落地时圆环A还在杆上，杆的最小长度是$\frac{2H}{k}$．
点评 本题主要考查了牛顿第二定律以及运动学基本公式的直接应用，要求同学们能正确分析棒和环的运动情况，知道棒和环的运动时间相等，再抓住位移关系求解，难度适中．
| A． | 绕月球运动的线速度v=$\frac{2πR}{T}$ | |
| B． | 绕月球运动的角速度ω=$\frac{2π}{T}$ | |
| C． | 绕月球运动的向心加速度a=$\frac{{4π}^{2}R}{{T}^{2}}$ | |
| D． | 距月球表面的高度为h=$\root{3}{\frac{{GMT}^{2}}{4{π}^{2}}}$-R |
如图所示，倾角为30°的光滑斜面的下端有一水平传送带，传送带正以6m/s的速度顺时针运动，一个质量为m的物体（可视为质点），从h=3.2m高处由静止沿斜面下滑，物体经过A点，不管是从斜面到传送带还是从传送带到斜面，其速率都不发生变化．已知物体与传送带间的动摩擦力因数为0.5，取g=10m/s2，求：
如图所示，水平面光滑，滑轮与绳子间，m1、m2与m3间的摩擦均不计，为使三个物体无相对滑动，水平推力F为多少？
如图所示，质量为m1的小车，在光滑水平面上保持静止状态，质量为m2的物体（可视为质点）以v0的水平速度冲上小车左端，物体最后相对于小车静止，物体与小车间的动摩擦因数为μ，求：
如图所示，货物从出料口P通过送料管送到传送带上某点Q（图中未画出），再通过倾角为α的传送带，以一定的速度传送到仓库里．送料漏斗出口P距传送带的竖直高度为h．送料管的内壁光滑．为使被送料能尽快地从漏斗出口P点通过送料直管运送到管的出口Q点，则送料直管与竖直方向夹角为多少时，被送料从P到Q的时间最短（ ）| A． | 送料管PQ竖直安装 | B． | 送料管PQ与竖直方向成$\frac{α}{2}$角安装 | ||
| C． | 送料管PQ与竖直方向成α角安装 | D． | 送料管PQ与竖直方向成2α角安装 |
如图所示，AOB为一边界为$\frac{1}{4}$圆的匀强磁场，O点为圆心，D点为边界OB的中点，C点为边界上一点，且CD∥AO．现有两个完全相同的带电粒子以相同的速度射入磁场（不计粒子重力），其中粒子1从A点正对圆心射入，恰从B点射出，粒子2从C点沿CD射入，从某点离开磁场，则可判断（ ）| A． | 粒子2在AB圆弧之间某点射出磁场 | |
| B． | 粒子2必在B点射出磁场 | |
| C． | 粒子1与粒子2在磁场中的运行时间之比为3：2 | |
| D． | 粒子1与粒子2的速度偏转角度应相同 |
如图示，劲度系数为k的轻质弹簧一端与墙固定，另一端与倾角为θ的斜面体小车连接，小车置于光滑水平面上，在小车上叠放一个物体，已知小车质量为M，物体质量为m，小车位于O点时，整个系统处于平衡状态．现将小车从O点拉到B点，令OB=b，无初速度释放后，小车在水平面B、C间来回运动，物体和小车之间始终没有相对运动．求：