Question

10．中国月球探测工程的形象标志是以中国书法的笔触，勾勒出一轮明月和一双踏在其上的脚印，象征着月球探测工程的终极梦想．我国的“嫦娥三号”有望在2013年登月探测90天，并已给登月点起了一个富有诗意的名字--“广寒宫”．
（1）若“嫦娥三号”贴近月球表面做匀速圆周运动，其运动的周期为T，已知月球半径为R，引力常量为G，试求出月球的质量M；
（2）若宇航员随“嫦娥三号”登陆月球后，在月球表面离月面H高处由静止释放一个小球，经过时间t 落到月球表面．已知月球半径为R，引力常量为G，试求出月球的质量M．

Answer 1

分析 1、“嫦娥三号”绕月球做圆周运动，万有引力提供向心力$\frac{GMm}{{R}^{2}}$=m$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$R，化简可得地球的质量．
2、小球在月球表面做自由落体运动H=$\frac{1}{2}$gt²，化简可得月球表面重力加速度，再根据月球表面的物体受到重力等于万有引力m′g=G$\frac{Mm′}{{R}^{2}}$，化简可得月球的质量．

解答 解：（1）“嫦娥三号”贴近月球表面做匀速圆周运动，
根据万有引力提供向心力$\frac{GMm}{{R}^{2}}$=m$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$R
得月球质量为M=$\frac{4{π}^{2}{R}^{3}}{G{T}^{2}}$
（2）小球在月球表面做自由落体运动H=$\frac{1}{2}$gt²；
得月球表面重力加速度g=$\frac{2H}{{t}^{2}}$
在月球表面球的重力等于球受到月球的万有引力
设球的质量为m′，则有
m′g=G$\frac{Mm′}{{R}^{2}}$，
解得M=$\frac{g{R}^{2}}{G}$=$\frac{2H{R}^{2}}{G{t}^{2}}$
答：（1）若“嫦娥三号”贴近月球表面做匀速圆周运动，其运动的周期为T，已知月球半径为R，引力常量为G，则月球的质量$\frac{4{π}^{2}{R}^{3}}{G{T}^{2}}$；
（2）若宇航员随“嫦娥三号”登陆月球后，在月球表面离月面H高处由静止释放一个小球，经过时间t 落到月球表面．已知月球半径为R，引力常量为G，则月球的质量$\frac{2H{R}^{2}}{G{t}^{2}}$．

点评 本题是卫星类型的问题，常常建立这样的模型：环绕天体绕中心天体做匀速圆周运动，由中心天体的万有引力提供向心力，注意引力提供向心力，与引力等于重力的两种情况．