Question

14．△OAC的三个顶点的坐标分别为O（0，0）、A（L，0）、C（0，$\sqrt{3}$L），在△OAC区域内有垂直于xOy平面向里的匀强磁场．在t=0时刻，同时从三角形的OA边各处沿y轴正方向以相同的速度将质量均为m、电荷量均为q的带正电粒子射入磁场，已知在t=t₀时刻从OC边射出磁场的粒子的速度方向垂直于y轴，不计粒子重力和空气阻力及粒子间的相互作用．
（1）求磁场的磁感应强度B的大小；
（2）若从OA边两个不同位置射入磁场的粒子，先后从OC边上的同一点P（P点图中未标出）射出磁场，求这两个粒子在磁场中运动的时间t₁与t₂之间应满足的关系；
（3）从OC边上的同一点P射出磁场的这两个粒子经过P点的时间间隔与P点位置有关，若该时间间隔最大值为$\frac{4{t}_{0}}{3}$，求粒子进入磁场时的速度大小．

Answer 1

分析 （1）粒子垂直OA进入磁场中，转过90°，垂直打在y轴上，则t=t₀=$\frac{1}{4}$T，求出周期，由周期公式T=$\frac{2πm}{qB}$求磁感应强度B的大小．
（2）画出两个粒子的运动轨迹，设轨迹所对应的圆心角分别为θ₁和θ₂，由几何关系有θ₁=180°-θ₂，可得到时间之和等于$\frac{T}{2}$．
（3）根据圆周运动知识知道，两粒子在磁场中运动的时间差△t与△θ=θ₂-θ₁成正比，只要求出△θ的最大值，即可求得θ₂的最大值．由△t=$\frac{△θ}{360°}$T和已知条件△t_max=$\frac{4{t}_{0}}{3}$，联立可求出θ₂的最大值，再结合几何知识求出轨迹的半径，由牛顿第二定律，利用洛伦兹力等于向心力，列式求解粒子的速度．

解答 解：（1）据题分析知，粒子在t₀时间内，速度方向改变了90°，轨迹对应的圆心角为90°，则t=t₀=$\frac{1}{4}$T，故粒子运动的周期 T=4t₀
由T=$\frac{2πm}{qB}$…①
得 B=$\frac{πm}{2q{t}_{0}}$…②
（2）在同一点射出磁场的两粒子轨迹如图，轨迹所对应的圆心角分别为θ₁和θ₂，由几何关系有：
θ₁=180°-θ₂…③
故t₁+t₂=$\frac{T}{2}$=2t₀…④
（3）由圆周运动知识可知，两粒子在磁场中运动的时间差△t与△θ=θ₂-θ₁成正比，由②得：
△θ=θ₂-θ₁=2θ₂-180°…⑤
根据⑤式可知θ₂越大，△θ₂越大，时间差△t越大
由△t=$\frac{△θ}{360°}$T…⑥
由题时间间隔最大值为△t_max=$\frac{4{t}_{0}}{3}$…⑦
又T=4t₀ …⑧
则⑤⑥⑦⑧得，θ₂的最大值为θ_max=150°…⑨
在磁场中运动时间最长的粒子轨迹如图，由几何关系α=180°-θ=30°…⑩
由几何知识得 tan∠A=$\frac{\sqrt{3}L}{L}$=$\sqrt{3}$，得∠A=60°…（11）
 β=90°-∠A=30°…（12）
且有 Rcosα+$\frac{R}{cosα}$=L   
解得：R=$\frac{2\sqrt{3}L}{7}$
根据qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，解得：v=$\frac{\sqrt{3}πL}{7{t}_{0}}$
答：
（1）磁场的磁感应强度B的大小是$\frac{πm}{2q{t}_{0}}$．
（2）这两个粒子在磁场中运动的时间t₁与t₂之间应满足的关系是t₁+t₂=2t₀．
（3）粒子进入磁场时的速度大小为$\frac{\sqrt{3}πL}{7{t}_{0}}$．

点评 对于带电粒子在磁场中运动类型，要能作出粒子的运动轨迹，善于运用几何知识帮助分析和求解，这是轨迹问题的解题关键．