Question

10．在地球上观测，太阳与地内行星（金星、水星）可视为质点，它们与眼睛连线的夹角有最大值时叫大距．地内行星在太阳东边时为东大距，在太阳西边时为西大距，如图所示．已知水星到太阳的平均距离约为0.4天文单位（1天文单位约为太阳与地球间的平均距离），金星到太阳的平均距离约为0.7天文单位，地内行星与地球可认为在同一平面内的圆轨道上运动，地球的自转方向与公转方向相同，取$\sqrt{0.7}$≈0.8，$\sqrt{0.4}$≈0.6，则下列说法中正确的是（　　）

• A． 水星的公转周期为0.4年
• B． 水星的线速度大约为金星线速度的1.3倍
• C． 水星两次东大距的间隔时间大约$\frac{6}{19}$年
• D． 金星两次东大距的间隔时间比水星短

Answer 1

分析 由万有引力提供向心力可确定周期，线速度表达式，可确定其的比值与间隔时间．

解答 解：A、行星绕太阳公转时，由万有引力提供向心力，则得：G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=m$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$r，可得，行星公转周期为 T=2π$\sqrt{\frac{{r}^{3}}{GM}}$，式中M是太阳的质量，r是行星的公转轨道半径．
则水星与地球公转周期之比 $\frac{{T}_{水}}{{T}_{地}}$=$\sqrt{\frac{{r}_{水}^{3}}{{r}_{地}^{3}}}$=$\sqrt{0．{4}^{3}}$=0.4$\sqrt{0.4}$，所以水星的公转周期为 T_水=0.4$\sqrt{0.4}$年，故A错误
B、由万有引力提供向心力得：G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，得 v=$\sqrt{\frac{GM}{r}}$，则水星的线速度与金星线速度之比 $\frac{{v}_{水}}{{v}_{金}}$=$\sqrt{\frac{{r}_{金}}{{r}_{水}}}$=$\sqrt{\frac{0.7}{0.4}}$=$\frac{0.8}{0.6}$≈1.3，则B正确．
C、设水星两次东大距的间隔时间为t．则 2π=$\frac{2π}{{T}_{水}}$t-$\frac{2π}{{T}_{地}}$t，得 t=$\frac{{T}_{地}{T}_{水}}{{T}_{地}-{T}_{水}}$=$\frac{1×0.4\sqrt{0.4}}{1-0.4\sqrt{0.4}}$年≈$\frac{6}{19}$年，则C正确
D、因金星的周期长，则金星两次东大距的间隔时间比水星长，则D错误．
故选：BC

点评 解决本题的关键首先要读题意，明确大距的含义，要明知道行星运行时向心力来源于太阳的万有引力，并由列式可确定出行星公转的周期、线速度的表达式．