Question

8．如图所示，电阻不计的光滑平行金属导轨MN和PQ水平放置，MP间接有阻值为R的电阻，导轨相距L，空间有竖直向下的匀强磁场．质量为m，电阻为R₀的导体棒CD垂直于导轨放置，并接触良好．用平行于MN向右的水平力拉动CD从静止开始运动，拉力的功率恒定为P．经过时间t导体棒CD达到最大速度v₀．
（1）求磁场磁感强度B的大小．
（2）求该过程中电阻R上所产生的电热．
（3）若换用恒力F拉动CD从静止开始运动，导体棒CD达到最大速度将为2v₀．求恒力F的大小及当CD速度为v₀时棒的加速度．

Answer 1

分析 （1）由安培力公式求出安培力，应用平衡条件求出磁感应强度大小．
（2）应用能量守恒定律求出电阻上产生的焦耳热．
（3）应用平衡条件求出恒力，应用牛顿第二定律求出加速度．

解答 解：（1）导体棒受到的安培力：F_安培=BIL=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{0}}{{R}_{0}+R}$，
由P=Fv可知，拉力：F=$\frac{P}{{v}_{0}}$，导体棒做匀速直线运动，
由平衡条件得：$\frac{P}{{v}_{0}}$=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{0}}{{R}_{0}+R}$，
解得：B=$\frac{\sqrt{P（R+{R}_{0}）}}{L{v}_{0}}$；
（2）由能量守恒定律得：Pt=Q+$\frac{1}{2}$mv₀²，
电阻R上产生的热量：Q_R=$\frac{R}{R+{R}_{0}}$Q，
解得：Q_R=$\frac{R}{R+{R}_{0}}$（Pt-$\frac{1}{2}$mv₀²）；
（3）受到为2v₀时导体棒受到的安培力：F_安培′=BI′L=$\frac{{2B}^{2}{L}^{2}{v}_{0}}{R+{R}_{0}}$，
导体棒匀速运动，由平衡条件得：F=$\frac{{2B}^{2}{L}^{2}{v}_{0}}{R+{R}_{0}}$
解得：F=$\frac{2P}{{v}_{0}}$；
当受到为v₀时，安培力：F_安培=BIL=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{0}}{{R}_{0}+R}$，
由牛顿第二定律得：F-F_安培=ma，
解得：a=$\frac{P}{m{v}_{0}}$；
答：（1）磁场磁感强度B的大小为$\frac{\sqrt{P（R+{R}_{0}）}}{L{v}_{0}}$．
（2）该过程中电阻R上所产生的电热为$\frac{R}{R+{R}_{0}}$（Pt-$\frac{1}{2}$mv₀²）．
（3）恒力F的大小为$\frac{2P}{{v}_{0}}$，当CD速度为v₀时棒的加速度为$\frac{P}{m{v}_{0}}$．

点评 导体棒匀速运动，拉力与安培力相等，应用安培力公式求出安培力、应用功率公式P=Fv求出拉力，然后应用平衡条件可以求出磁感应强度；分析导体棒的运动过程，应用能量守恒定律、安培力公式与牛顿第二定律可以解题．