Question

如图所示，劲度系数为k的轻弹簧，左端连着绝缘介质小球B，右端连在固定板上，放在光滑绝缘的水平面上．整个装置处在场强大小为E、方向水平向右的匀强电场中．现有一质量为m、带电荷量为+q的小球A，从距B球为S处自由释放，并与B球发生碰撞．碰撞中无机械能损失，且A球的电荷量始终不变．已知B球的质量M=3m，弹簧振子的周期（A、B小球均可视为质点）．

（1）求A球与B球第一次碰撞后瞬间，A球的速度v₁和B球的速度v₂．
（2）要使A球与B球第二次仍在B球的初始位置迎面相碰，求劲度系数k的可能取值．
（3）若A球与B球每次都在B球的初始位置迎面相碰．请你以A球自由释放的瞬间为计时起点，速度方向向右为正方向，求作A球的v-t图线（要求至少画出小球A与B球发生第三次碰撞前的图线，必须写出画图的依据）．

Answer 1

【答案】分析：（1）两球发生弹性碰撞时满足动量守恒定律和机械能守恒定律，记住碰后两球速度的表达式；
（2）A球碰后先向左减速再反向加速两次时间相等，B球从碰后再回到原位置的时间具有周期性，二者相等即可求解．
（3）A球与B球的第二次碰撞过程中机械能守恒，动量守恒，根据机械能守恒定律，动量守恒定律列式求解碰后速度，寻找轨迹，从而画出图象．
解答：解：（1）设A球与B球碰撞前瞬间的速度为v，
由动能定理得，qES=                         
解得：                          
碰撞过程中动量守恒   mv=mv₁+Mv₂                             
机械能无损失，有                            
解得，v=负号表示方向向左  
v₁=v（舍）
v=，方向向右                v₂=0（舍）
（2）由（1）可知，碰撞后A球向左减速，B球以初速v向右做简谐运动，要使m与M第二次迎面碰撞仍发生在原位置，则必有A球重新回到O处所用的时间t恰好等于B球的（n+）T
      a=                        
则t=2=nT+（n=0、1、2、3 …）   
 t=2                         
解得：k=（n=0、1、2、3 …） 
（3）A球与B球的第二次前速度分别为-v₁、-v₂，碰撞后速度分别为v′₁和v′₂，应满足
碰撞过程中动量守恒-mv₁-Mv₂=mv′₁+Mv′₂                        
机械能无损失，有+=+               
解得：v′₁=2v₁=-v=-方向向左，v′₂=0                      
可见，当A球再次回到O处与B球发生第三次碰撞时，第三次碰撞是第一次碰撞的重复，此后过程将周而复始地进行，A球的v-t图线如图所示，


其中，
答：（1）A球与B球第一次碰撞后瞬间，A球的速度大小为，方向向左，和B球的速度大小为方向向右；
   （2）要使A球与B球第二次仍在B球的初始位置迎面相碰，劲度系数k的可能取值为（n=0、1、2、3 …）．
   （3）图象如图所示．
点评：本题是综合性很强的题目，运用到动能定理、动量守恒、机械能守恒、运动学公式、牛顿定律，难点是抓住简谐运动的周期性，得到A球运动时间的通项，即可求出K的可能值．