Question

10．如图所示，电阻不计的两光滑平行金属导轨相距L=1m，其中MN左侧水平并接有R=2Ω的电阻，MN右侧弯成半径a=1m的半圆形且处在竖直平面内，整个装置处于磁感应强度大小B=1T，方向竖直向上的匀强磁场中（图中只画了一条磁感线），一质量为m=0.1kg，电阻r=1Ω的金属棒在外界拉力的作用下，沿着轨道以v=2m/s的恒定速率向半圆导轨最高处PQ运动，金属棒与导轨始终垂直且接触良好，g取10m/s²，求：
（1）从金属棒经过最低处MN开始计时，t时刻金属棒在半圆形导轨上运动产生的感应电动势的表达式；
（2）金属棒从半圆形导轨最低处MN运动到最高处PQ的过程中拉力做的功．（结果保留一位有效数字）．

Answer 1

分析 （1）根据切割产生的感应电动势公式，结合数学知识求出t时刻金属棒在半圆形导轨上运动产生的感应电动势的表达式；
（2）根据安培力做功等于电路中的电能，结合交流电的有效值，根据产生的热量，运用动能定理求出拉力做功的大小．

解答 解：（1）如图，t时刻$θ=\frac{vt}{a}$，
导体棒产生的感应电动势e=BLvcosθ，即金属棒产生的感应电动势表达式$e=2cos2t（V）\\;（t≤\frac{π}{2}s）$
（2）整个过程对金属棒运用动能定理，设拉力做的功为W_F，克服安培力做功为W_安，则
W_F-W_安-mg•2a=0
由于金属棒产生的是余弦交流电，所以感应电动势的有效值E=$\frac{{E}_{m}}{\sqrt{2}}$，
克服安培力做功等于电路中的电能，则${W}_{安}=\frac{{E}^{2}}{R+r}t$，
其中t=$\frac{πa}{v}$，
代入数据解得：W_F=3J．
答：（1）t时刻金属棒在半圆形导轨上运动产生的感应电动势的表达式为$e=2cos2t（V）\\;（t≤\frac{π}{2}s）$
（2）金属棒从半圆形导轨最低处MN运动到最高处PQ的过程中拉力做的功为3J．

点评 本题是电磁感应与力学、交变电流的综合，把握在半圆轨道上产生的感应电流规律，知道对于交变电流，必须用有效值求热量．