Question

12．如图所示，在倾角α的斜面上，流过导体棒ab的电流为I、通电导体棒长为L、质量为m．
（1）如果斜面光滑，欲使棒静止在斜面上，外加匀强磁场的磁感应强度B的最小值是多少？方向如何？
（2）如果斜面粗糙，外加匀强磁场的磁感应强度竖直向上，金属棒与斜面的动摩擦因数为μ，且μ＜tanα，假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，求匀强磁场磁感应强度B的最小值．

Answer 1

分析 （1）导线所受重力恒定，支持力的方向不变，根据三角形定则求出安培力的最小值，从而得出磁感应强度的最小值．
（2）匀强磁场的磁感应强度B最小时，金属棒所受的安培力最小，恰好有沿导轨向下滑动的趋势，静摩擦力达到最大值，根据平衡条件和安培力公式结合解答．

解答 解：（1）若要求磁感应强度最小，则一方面应使磁场方向与通电导线垂直，另一方面应调整磁场方向使与重力、支持力合力相平衡的安培力最小．如图1所示，由力的矢量三角形讨论可知，当安培力方向与支持力垂直时，安培力最小，对应磁感应强度最小，

设其值为B_min，
则：B_minIL=mgsinα，得：B_min=$\frac{mgsinα}{IL}$
根据左手定则判定知，该磁场方向垂直于斜面向上．
（2）匀强磁场的磁感应强度B最小时，金属棒所受的安培力最小，恰好有沿导轨向下滑动的趋势，静摩擦力达到最大值，金属棒受力如图2所示．
则BILcosα+f=mgsinα
又 f=μF_N=μ（mgcosα+BILsinα）
联立解得 B的最小值为 B=$\frac{mg（sinα-μcosα）}{IL（cosα+μsinα）}$
答：
（1）如果斜面光滑，欲使棒静止在斜面上，外加匀强磁场的磁感应强度B的最小值是$\frac{mgsinα}{IL}$，方向垂直于斜面向上．
（2）B的最小值为$\frac{mg（sinα-μcosα）}{IL（cosα+μsinα）}$．

点评 解决本题的关键将立体图转换为平面图，运用共点力平衡求解力，以及会运用三角形定则求解力的最小值．