Question

3．如图所示，摩托车做腾跃特技表演，在水平道路上以初始动能E_k0冲上高为h、顶部水平的高台，然后从高台水平飞出．若摩托车始终以额定功率P₀行驶，经时间t从坡底到达坡顶，人和车的总质量为m，忽略空气阻力的影响，则摩托车到达坡顶时的动能E_k=E_k0+P₀t-mgh．若改变高台的高度h，初始动能仍为E_k0，离开高台前牵引力做功为W，则h为$\frac{{E}_{k0}+{P}_{0}t}{2mg}$时，摩托车飞出的水平距离最远．

Answer 1

分析 研究摩托车在斜坡上运动的过程，根据动能定理，求出摩托车到达坡顶时的动能E_k．根据高度求出平抛运动的时间，结合初速度和时间求出水平位移表达式，运用数学知识求解h为何值时，摩托车飞出的水平距离最远．

解答 解：摩托车在斜坡上运动的过程，根据动能定理得
  E_k-E_k0=P₀t-mgh
则得E_k=E_k0+P₀t-mgh
摩托车离开高台后做平抛运动，根据h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$得，t=$\sqrt{\frac{2h}{g}}$
由E_k=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$得平抛运动的初速度 v=$\sqrt{\frac{2{E}_{k}}{m}}$ 则摩托车飞出的水平距离为：x=vt=$\sqrt{\frac{2{E}_{k}}{m}}$•$\sqrt{\frac{2h}{g}}$
将E_k=E_k0+P₀t-mgh代入得 x=2$\sqrt{（\frac{{E}_{k0}+{P}_{0}t}{mg}-h）h}$
根据数学知识知，当$\frac{{E}_{k0}+{P}_{0}t}{mg}$-h=h，即h=$\frac{{E}_{k0}+{P}_{0}t}{2mg}$时x最大．
故答案为：E_k0+P₀t-mgh，$\frac{{E}_{k0}+{P}_{0}t}{2mg}$．

点评 本题是动能定理和平抛运动的规律的综合应用，关键是得到摩托车飞出的水平距离与h的关系式，再利用好数学知识求极值，是典型的函数法，要学会运用．