Question

13．如图所示，两个可视为质点的相同小球1、2分别在两竖直光滑圆锥的内侧面上以相同的角速度做匀速圆周运动．已知两圆锥面与水平面的夹角分别为30°和45°，重力加速度为g，则下列说法正确的是（　　）

• A． 两球的向心加速度大小之比为1：$\sqrt{3}$
• B． 两球做圆运动的半径之比为1：1
• C． 两球的线速度大小之比为1：$\sqrt{2}$
• D． 两球离地面的高度之比为1：3

Answer 1

分析 先对两个小球进行受力分析，得出向心力，从而可得知向心加速度的比值，从而可判知选项A的正误．再利用向心加速度的公式a=ω²R结合向心加速度的比值，即可判知选项B的正误．利用线速度的公式v=ωR即可得知两球的线速度的大小之比，继而可得知选项C的正误．利用半径和角度的关系可得知两球离地面的高度之比，由此可知选项D的正误．

解答 解：设小球的质量为m，两个小球运动的向心力为两球受到的合外力，分别为：
F_1向=mgtan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$mg…①；
F_2向=mgtan45°=mg…②；
A、由①式得小球1的加速度为a₁=$\frac{\sqrt{3}}{3}$g；由②式得小球2的加速度为a₂=g；所以a₁：a₂=1：$\sqrt{3}$，选项A正确．
B、由向心加速度的公式a=ω²R结合向心加速度的比值得：R₁：R₂=1：$\sqrt{3}$，选项B错误
C、由线速度的公式v=ωR得两球的线速度大小之比为1：$\sqrt{3}$，选项C错误．
D、球1离地面的高度h₁=R₁tan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}{R}_{1}$，球2离地面的高度h₂=R₂tan45°=R₂，所以两球离地面的高度之比为h₁：h₂=1：3，选项D正确．
故选：AD

点评 解答该类型的题，首先要进行正确的受力分析，得出向心力，铭记向心力是沿半径方向上的所有力的合力；平时要熟记公式F_向=ma=$m\frac{{v}^{2}}{R}$=mω²R=$m\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}R$=m4π²f²R，根据题干所给的条件选择合适的式子列式求解．