Question

如图所示，质量为M的长方形木板静止在光滑水平面上，木板的左侧固定一劲度系数为k的轻质弹簧，木板的右侧用一根伸直的并且不可伸长的轻绳水平地连接在竖直墙上．绳所能承受的最大拉力为T．一质量为m的小滑块以一定的速度在木板上无摩擦地向左运动，而后压缩弹簧．弹簧被压缩后所获得的弹性势能可用公式EP=

1

2

kx2计算，k为劲度系数，x为弹簧的形变量．
（1）若在小滑块压缩弹簧过程中轻绳始终未断，并且弹簧的形变量最大时，弹簧对木板的弹力大小恰好为T，求此情况下小滑块压缩弹簧前的速度v₀；
（2）若小滑块压缩弹簧前的速度v₀'为已知量，并且大于（1）中所求的速度值v₀，求此情况下弹簧压缩量最大时，小滑块的速度；
（3）若小滑块压缩弹簧前的速度大于（1）中所求的速度值v₀，求小滑块最后离开木板时，相对地面速度为零的条件．

Answer 1

分析：（1）假设绳子不断，当滑块速度减为零时，弹性势能最大，弹力最大，绳子的张力最大，等于弹簧的弹力；然后根据机械能守恒定律和胡克定律列式求解；
（2）当滑块与长木板速度相等时，弹力最大，加速度最大；先求解出断开时滑块速度，然后根据动量守恒和机械能守恒定律列式联立求解出共同速度，得到最大加速度．
（3）滑块与长木板分离后，速度恰好为零，根据动量守恒定律和机械能守恒定律列式后联立求解即可．

解答：解：（1）设此问题中弹簧的最大压缩量为x₀，则有：
 

1

2

m

v

2 0

=

1

2

k

x

2 0

…①
kx₀=T…②
解得：v0=T

1 km

．
（2）由于小滑块压缩弹簧前的速度v₀′大于（1）中所求的速度值v₀，所以当弹簧的压缩量为x₀时，小滑块的速度不为零．
设弹簧的压缩量为x₀时，小滑块的速度为v，
有  

1

2

m(v0′)2=

1

2

kx02+

1

2

mv2…③
由②③解得：v=

(v0′)2- T2 km

…④
此后细绳被拉断，木板与滑块（弹簧）组成的系统动量守恒，当弹簧的压缩量最大时，木板和小滑块具有共同速度，设共同速度为V
有 mv=（m+M）V…⑤
由④⑤解得：V=

m

M+m

(v0′)2- T2 km

…⑥
（3）木板与小滑块通过弹簧作用完毕时，小滑块相对地面的速度应为0，设此时木板的速度为V₁，并设小滑块压缩弹簧前的速度为v₀'，绳断瞬间小滑块的速度为 v，则有 mv=MV₁ …⑦
 

1

2

m(v0′)2=

1

2

MV12…⑧
由④⑦⑧解得小滑块最后离开木板时，相对地面速度为零的条件得：v0′=

T

k(m-M)

，且m＞M．
答：（1）小滑块压缩弹簧前的速度v₀是T

1 km

．
（2）弹簧压缩量最大时，小滑块的速度是

m

M+m

(v0′)2- T2 km

；
（3）小滑块最后离开木板时，相对地面速度为零的条件是：v0′=

T

k(m-M)

，且m＞M．

点评：本题关键要分析清楚滑块和滑板的运动情况，能结合机械能守恒定律和动量守恒定律多次列式后联立分析，难度较大．