Question

9．如图所示，在游乐节目中，一质量m=50kg的选手抓住竖直绳下端的抓手以v₀=5m/s的水平速度开始摆动，当摆到与竖直方向夹角θ=37°时，选手松手，松手后的上升过程中选手水平速度保持不变，运动到水平传送带左端A时速度刚好水平，并在传动带上滑行，传送带以v=2.8m/s的速度向右匀速运动．已知绳子的悬挂点到抓手的距离L=6m，传送带两端点A、B间的距离s=3.7m，选手与传送带的动摩擦因数μ=0.4，若把选手看成质点，且不考虑空气阻力和绳的质量．g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8，求：
（1）选手放开抓手时的速度大小及选手在传送带上从A运动到B的时间；
（2）选手在传送带上运动时传送带的发动机需要多输出的能量．

Answer 1

分析 （1）选手拉着绳子在摆动的过程中机械能守恒，根据机械能守恒定律求出选手放开绳子时的速度大小；根据平行四边形定则求出选手放开绳子时水平方向和竖直方向上的分速度，当选手到达最高点时，竖直方向上的分速度为零，选手在传送带上的初速度等于水平分速度，结合牛顿第二定律和运动学公式求出选手在传送带上滑行时间；
（2）求出选手相对于传送带的路程，根据Q=f△x求出摩擦而产生的热量，电动机多输出的能量等于物体增加的动能与热量之和．

解答 解：（1）由机械能守恒定律得：
$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$=mgL （1-cos37°）+$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
代入数据解得：v₂=1m/s．
选手在放开绳子时，水平速度为v_x，竖直速度为v_y，则有：v_x=vcos37°=1×0.8=0.8m/s．
选手在最高点站到传送带上A点有0.8m/s向右的速度，在传送带上做匀减速直线运动．
选手的加速度大小为：a=μg=0.4×10=4m/s²．
减速到跟传送带具有相同速度时所需时间为：
v=v_x+at₁
t₁=$\frac{2-4}{-4}$=0.5s
x₁=$\frac{v+{v}_{2}}{2}$t₁=$\frac{0.8+2.8}{2}$×0.5=0.9m
△x=x-x₁=3.7-0.9=2.8m
在△x内做匀速运动所需时间为：
t₂=$\frac{△x}{△t}$=$\frac{2.8}{2.8}$=1s
故所需时间为：t=t₁+t₂=1+0.5s=1.5s；
（2）选手增加的动能为：
E_K=$\frac{1}{2}$mv²-$\frac{1}{2}$mv_x²=$\frac{1}{2}$×50×（2.8²-0.8²）=180J；
摩擦力做功转化为内能为：Q=μmg（vt₁-x₁）=0.4×50×10×（2.8×0.5-0.9）=100J；
发动机需要多输出的能量为：E=180+100=280J；
答：（1）选手放开绳子时的速度大小为1m/s；选手在传送带上从A运动到B的时间为1.5s；
（2）选手在传送带上时传送带的发动机需要多输出的能量为280J．

点评 本题综合考查了机械能守恒定律、牛顿第二定律和运动学公式以及功能关系，综合性较强，对学生的能力要求较高，是一道好题．