题目内容
【题目】在物理学中，变化量、变化率在描述各种变化过程时起着非常重要的作用。
(1)伽利略在研究自由落体运动时，考虑了两种可能的速度变化：一种是速度随时间均匀变化，另一种是速度随位移均匀变化。如图1所示，小球做自由落体运动，A、B是运动过程中的两个位置。从A到B的运动时间为
，位移为
， 速度变化为
。类比加速度的定义式
，写出速度随位移的变化率
的表达式。判断在自由落体运动中是增大的还是减小的，并说明理由；
(2)空间存在有一圆柱形的匀强磁场区域，其横截面如图2所示，磁感应 强度随时间按照图3所示的规律均匀变化。图中
和
为已知量。
a．用电阻为R的细导线做成半径为r的圆环（图中未画出），圆环平面垂直于该磁场，圆环的中心与磁场中心重合。圆环半径小于该磁场的横截面半径。求
时磁感应强度随时间的变化率的
，以及圆环中的电流。
b．上述导体圆环中产生的电流，实际是导体中的自由电荷在感生电场力的作用下做定向运动，而且自由电荷受到感生电场力的大小可以根据电动势的定义和法拉第电磁感应定律推导出来。现将导体圆环替换成一个用绝缘细管做成的半径为r的封闭圆形管道，且圆形管道的中心与 磁场区域的中心重合（图中未画出）。管道内有一小球，小球质量为m，带电量为+q。忽略小球的重力和一切阻力。
时小球静止。求时小球的速度大小及管道对小球的 弹力大小。
【答案】（1）
，是减小的。详见解析；（2）a．
；b. 
，
【解析】
（1）速度随位移的变化率
在自由落体运动中
是减小的。在自由落体中，取A、B、C三个位置，而且A到B、B到C的时间相同。由于重力加速度相同，则A到B、B到C的速度变化也相同。又由于自由落体运动速度越来越大，所以A到B的位移小于B到C的位移。根据
可得在自由落体运动中时逐步减小的。
（2）a．磁感应强度的变化率
根据法拉第电磁感应定律，有
根据闭合电路的欧姆定律
b．根据法拉第电磁感应定律有
根据电动势的定义有
由上可得
小球所受感生电场作用力为
在感生电场力的作用下。小球速度不断增加，将其转化为沿直线运动。小球做匀加速运动，加速度大小
根据运动学公式得
根据牛顿第二定律，得
