Question

PQ、MN间存在匀强电场，场强为E，沿场强方向固定一绝缘细杆，杆上套有两个质量均为m的绝缘小球A、B，小球A带正电，电荷量为q，小球B不带电．将A、B从相距为L的两点由静止释放，之后A、B间的碰撞为弹性碰撞，碰撞时间极短且碰撞时没有电荷转移，运动中小球A的电荷量不变，求：
（1）从A、B间的第一次碰撞到发生第二次碰撞，小球A运动的距离；
（2）若小球B出电场时的动能为16qEL，则A、B间发生了几次碰撞？
（3）若小球B出电场时的动能为16qEL，则小球A出电场时的动能多大？

Answer 1

分析：（1）A、B间发生弹性碰撞，遵守动量守恒和机械能守恒，根据两大守恒列式可知：由于质量相等，两球交换速度．先根据动能定理求出第一次碰撞前A的速度，根据碰撞的规律得到碰后两球的速度．再运用动能定理和运动学公式结合求解即可；
（2）运用动能定理和运动学公式结合，分别求出碰撞第二次、第三次碰撞后小球B出电场时的动能，即可判断A、B间发生了几次碰撞．
（3）若第四次碰撞发生后小球A即离开电场，对A球运用动能定理求解小球A出电场时的动能．若小球A在将要发生第五次碰撞时才离开电场，运用动能定理和运动学公式求解即可．

解答：解：A、B间发生弹性碰撞，设每次碰撞A、B的速度分别为v₁、v₂，碰后的速度分别为v′₁、v′₂，
由动量守恒定律和能量守恒定律得：
 mv₁+mv₂=mv′₁+mv′₂ ①
 

1

2

m

v

2 1

+

1

2

m

v

2 2

=

1

2

mv

’

2 1

+

1

2

mv

’

2 2

  ②
联立①②解得 v′₁=v₂，v′₂=v₁或v′₁=v₁，v′₂=v₂（舍去），即每次碰撞两球都交换速度．
（1）设第一次碰撞前小球A的速度为v₁，由动能定理得：qEL=

1

2

m

v

2 11

  ③
则第一次碰撞后 v′₁₁=0，v′₂₁=v₁₁，小球A又开始做初速度为零的匀加速运动，小球B则以速度v₁做匀速运动，设从A、B间的第一次碰撞到第二次碰撞前小球A运动的距离为L₂，则
 qEL2=

1

2

m

v

2 12

 ④
L2=v11t，L2=

v12

2

t  ⑤
联立③④⑤解得 v₁₂=2v₁₁，L₂=4L
（2）第二次碰后v′₁₂=v₁₁，v′₂₂=v₁₂=2v₁₁，设第三次碰撞前A运动的距离为L₃，则   qEL3=

1

2

m

v

2 13

-

1

2

m

v

2 11

  ⑥
L3=v12t，L3=

v11+v13

2

t  ⑦
联立解得：v₁₃=3v₁₁，L₃=8L₁=2L₂
第三次碰后v′₁₃=v₁₂=2v₁₁，v′₂₃=v₁₃=3v₁₁，小球B的动能为Ek3=

1

2

m

v

2 13

=9

1

2

m

v

2 11

=32qEL，
因此当小球B出电场时的动能为16qEL=4²qEL时，A、B间发生了四次碰撞．
（3）第四次碰撞后，小球A的速度v′₁₄=v₁₃=3v₁₁，若第四次碰撞发生后小球A即离开电场，则A的动能  EkA=

1

2

m

v

2 13

=9qEL，
若小球A在将要发生第五次碰撞时才离开电场，则qEL5=E′kA-

1

2

m

v

2 13

  ⑧
  L₅=2（n-1）L₂=8L₂=16L  ⑨
解得：E′_kA=25qEL，故有 9qEL≤E_kA＜25qEL
答：
（1）从A、B间的第一次碰撞到发生第二次碰撞，小球A运动的距离为4L；
（2）若小球B出电场时的动能为16qEL，则A、B间发生了四次碰撞．
（3）若小球B出电场时的动能为16qEL，则小球A出电场时的动能为9qEL≤E_kA＜25qEL．

点评：分析清楚物体的运动过程与运动性质，抓住两球弹性碰撞的基本规律：动量守恒和机械能守恒，两球质量相等会交换速度．再应用匀变速运动的速度公式、位移公式和动能定理即可正确解题．