Question

【题目】如图所示，在半径为R的半圆形区域内存在垂直纸面向内的匀强磁场，磁场强弱可以改变，直径PQ处放有一层极薄的粒子接收板。放射源S放出的α粒子向纸面内各个方向均匀发射，速度大小均为v。已知α粒子质量为m，电荷量为q：

(1)若，放射源S位于圆心O点正上方的圆弧上，试求粒子接收板能接收到粒子的长度；

(2)若，把放射源从Q点沿圆弧逐渐移到P点的过程中，求放射源在圆弧上什么范围移动时，O点能接收到α粒子；

(3)若，把放射源从Q点沿圆弧逐渐移到P点的过程中，求放射源在圆弧上什么范围移动时，直径上位于O点右侧距离的O'点能接收到α粒子。

Answer 1

【答案】(1)；(2)当放射源在圆弧QSI上都能打到O点；(3)从放射源从Q到H范围的粒子能打到点

【解析】

(1)粒子在匀强磁场中作匀速圆周运动，洛仑兹力提供向心力

又因为

解得

如图所示

粒子被收集板最右侧收集，其运动轨迹恰好与PQ相切于点N，其圆心为C，CD垂直SO，根据几何关系可得

解得

粒子水平向左发射时被收集板最左侧收集时，其运动轨迹恰好与PQ相交于点M，其圆心在SO的E点，根据几何关系可得

解得

因此，收集可收集到粒子的长度为

(2)因为

可得其运动半径为

考虑能够打到O点的粒子，其对应的轨迹可以看成是半径为R的圆，其圆周上的一个点在O点。如下图所示

根据图可知，粒子从Q点沿圆弧逆时针移动，当移到位置I时，其轨迹恰好与PQ相切，之前都能打到O点，过了I之后，将不能打到O点。从I发出的粒子，其轨迹与PQ相切，则其对应的圆心恰好在O的正上方S，三角形ISO为正三角形，所以

因此当放射源在圆弧QSI上都能打到O点。

(3)如图所示

因为

可得其运动半径为

考虑能够打到点的粒子，其对应的轨迹可以看成是半径为圆其圆周上的一个点在点，把放射源从Q点沿圆弧逐渐移到P点的过程中，放射源与点的连线是弦长，移动过程中弦长越来越长，由于

因此当放射源位置与点的之间的距离为时，设放射源的位置为，此位置是临界点。对于三角形，根据余弦定理可得

所以

则从放射源从Q到H范围的粒子能打到点。